Найдите высоту неправильной трапеции с известными углами и площадью поверхности
ИЗВЕСТНЫЙ:
- Длина DC
- Альфа
- Бета
- Поверхность S
НЕОБХОДИМО:
- Высота h
Для алгоритма мне нужен способ решить эту проблему для любой трапеции. Что-то вроде этого вопроса ( учитывая известную равнобедренную трапецию, найдите высоту другой с такими же углами и одним основанием, но с другой площадью ), но не с ограничением равнобедренной кости.
Как и в этом вопросе, у меня есть вся информация о большой трапеции с одинаковыми углами и постоянным током, но я думаю, что единственное преимущество, которое я получаю от этого, - это углы.
Давно беспокоят мой мозг, но безуспешно. Исходя из формулы для поверхности: S = h * ((AB + DC) / 2) Я мог бы закончить формулой: h = (2 * S) / (AB + DC) Но это вряд ли поможет, потому что я не знаю AB. Формулы, основанные на углах, также всегда требовали как DC, так и AB, или, альтернативно, длины ветвей.
Еще одна идея, которая у меня возникла, заключалась в том, чтобы разделить трапецию на два прямоугольных треугольника и один квадрат, потому что решение задачи оказывается проще для каждого в отдельности. Но после реализации половины этого я понял, что у меня нет возможности узнать, какой будет желаемая площадь поверхности каждой фигуры ...
Есть ли известное решение этой проблемы? Huuge заранее спасибо!
Ответы
Кажется, эту проблему лучше всего решить с помощью триггера. Рассматривать:
Проведите вертикальную линию вверх от $D$ в точку $E$ на $AB$. Сделайте то же самое вниз от$B$ к $F$ на $CD$.
Мы знаем $\overline{DE}$ и $\overline{BF}$ равны h. $\overline{BE}$ и $\overline{DF}$ какое-то неизвестное расстояние $d$.
Как вы заметили, площадь представляет собой сумму прямоугольника и двух треугольников, т.е. $$S = dh + S(\Delta BFC) + S(\Delta ADE)$$
И мы можем найти наши длины для новых сегментов
$$\overline{CF} = \frac{h}{\tan \beta}$$ $$\overline{AE} = h \tan (\alpha - 90°) = h \tan \gamma$$
Я просто добавляю гамму в качестве подмены для альфы - 90 ° для удобства чтения. И все это значит$$ S = dh + \frac{1}{2}\frac{h^2}{\tan \beta} + \frac{1}{2}h^2 \tan \gamma $$
Что ж, это одно уравнение с двумя переменными. Нам нужен еще как минимум один. К счастью, мы знаем длину$\overline{CD}$, и это должно быть:
$$ \overline{CD} = d + \frac{h}{\tan \beta}$$
Две последние замены дают
$$ S = h\left(\overline{CD}-\frac{h}{\tan \beta}\right) + \frac{1}{2}\frac{h^2}{\tan \beta} + \frac{1}{2}h^2 \tan \gamma $$
$$ S = h\cdot\overline{CD } + h^2\left(\frac{1}{2}\tan \gamma - \frac{1}{2 \tan \beta}\right)$$
И я не собираюсь вдаваться в квадратное уравнение с использованием переменных, поэтому подставьте свои фактические числа на этом этапе.
Надеюсь, это поможет! Я собираюсь быстро перепроверить свои шаги.