Напряжение кручения и изгиба рассчитывается по прогибу
Мне нужна помощь, чтобы проверить мой расчет. Я хочу знать, можно ли использовать этот метод или я использую неправильное предположение. Позвольте мне объяснить проблему, балка длиной$l$крепится с одного конца. Сила$F$ момент $M_v$наносится на конец балки, см. рисунок ниже. Балка имеет круглое сечение. Из-за силы конец балки деформируется на длину$\delta$. Известны только прогиб и геометрические параметры, такие как длина и диаметр.
Используя теорию балок Эйлера-Бернулли, прогиб можно выразить как:
$$\delta = \frac{Fl^3}{6EI} \tag{1}$$
куда $E$ модуль Юнга материала и $I$ инерция, которая $I=\frac{\pi d^4}{64}$для круглого поперечного сечения. Вот$d$ диаметр луча.
Подставляя инерцию в (1) и переставляя ее как выражение $F$ дает:
$$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3} \tag{2}$$
Его можно вставить в общую формулу максимального напряжения изгиба в поперечном сечении.
$$\sigma_{max}= \frac{Fl}{\frac{\pi d^3}{32}} = \frac{32Fl}{\pi d^3} \tag{3}$$
Здесь сопротивление изгибу для круглого поперечного сечения уже введено в формулу, а изгибающий момент заменен на максимальный момент, который равен $Fl$.
Это та часть, в которой я не уверен, я использую силу из (2) и вставляю ее в (3), чтобы получить максимальное напряжение. Пожалуйста, дайте мне знать, возможно ли это или я делаю ошибку.
Кроме того, напряжение сдвига можно рассчитать из $\tau = \dfrac{M_v}{W_v}$ где $W_v = \dfrac{\pi d^3}{16}$, которое представляет собой сопротивление кручению в материале. Затем я перехожу к использованию критерия текучести фон Мизеса, чтобы получить оценку максимального напряжения в материале.
$$\sigma_{von\ Mises} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$$
Как я уже спрашивал, меня в основном интересует, возможно ли это продолжить решение этой проблемы или я использую некоторые методы / предположения, которые неверны.
Ответы
В общем то, что вы делаете, нормально. Предполагая, что у вас достаточно малые прогибы (из-за изгиба или скручивания), вы можете решить проблемы самостоятельно. Т.е.:
- Рассчитайте Силу, необходимую для получения изгиба точно так, как вы это сделали. $$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3}$$
- Рассчитайте величину напряжения сдвига.
Предостережения
Однако с этого момента есть несколько предостережений. Что касается:
а) изгиб : максимальная величина нормального напряжения, которую вы рассчитываете, приходится на верх и низ балки. Любая точка на нейтральной оси должна иметь нулевую величину.
б) крутильный сдвиг : величина на расстоянии$\frac d 2$постоянно, но направление меняется. см. следующее изображение:
величина максимального напряжения скручивания правильно:
$$\tau_t = \frac{M_u}{\frac{\pi d^3}{16}}$$
c) Сдвиг : хотя обычно его не используют, существует также напряжение сдвига, связанное с$$\tau_s = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}$$. Обычно это очень мало, но также имеет постоянное направление (в данном случае - вниз).
Суть в том, что вам нужно добавить как векторы $\tau_s$ и $\tau_t$. Следовательно, в разных точках материала у вас будут разные значения. Для изображения 1 и взятия точек A, B, C, D против часовой стрелки результирующее напряжение сдвига будет:
- в самой правой точке (точка A (+ x, y = 0) будет $$\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$$.
- в самой верхней точке (точка B (x = 0, + y) будет $$\tau_{B, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
- в самой левой точке (точка C (-x, y = 0) будет $$\tau_{C, res} = \tau_s + \tau_t$$.
- в самой нижней точке (точка D (x = 0, + y) будет $$\tau_{D, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
Максимальный стресс
Итак, самое главное - это ваше уравнение фон Мизесов. Какие значения вы используете$\sigma$ и $\tau$.
Вам нужно будет пройти через каждую точку и применить соответствующее напряжение:
- Точка А, используйте $\sigma_{A} = 0$ и $\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$
- Точка B (и D), используйте $\sigma_{B} = \frac{32Fl}{\pi d^3}$ и $\tau_{, res} =\sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$
- Точка C, используйте $\sigma_{A} = 0$ и $\tau_{A, res} = \tau_s + \tau_t$
К сожалению, это не единственные моменты, которые вам нужно проверить. Например, вы должны проверить хотя бы на$\pm 135$ градусов (в этой квадратуре на изображении $\tau_s $ и $\tau_t$не отменяют друг друга). Но это идея.