Не знаете, что такое тензорное произведение R-модулей

Question

В книге Ту по дифференциальной геометрии он впервые определяет $Free(V\times W)$ так как:

$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ где сумма конечна.

Насколько я понимаю, приведенная выше конструкция представляет собой формальные комбинации и забывает реальную структуру модулей. Другими словами, если$v_1+v_2 = v_3$, неправда, что в $Free(V\times W)$ это $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$

Теперь, чтобы сформировать тензорное произведение, мы факторизуем его по подмодулю, $S$ охватывается элементами формы: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ Тогда у нас есть отображение от произведения к тензорному произведению, $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$

Однако если $v_3 = v_1 + v_2$, то я не могу показать это $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ что должно быть, если $\otimes$является билинейным отображением гомоморфизма модулей .

Answer 1

поскольку $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ и $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ определяется $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ условие $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ говорит нам, что $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ который совпадает с $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. Также обратите внимание, что другие отношения, которые определяют$S$ дает нам \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}

---

Напомним, что если $M$ является $R$-модуль и $S$ является подмодулем $M$, частное $M/S$ определяется $M/\!\sim$, где $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ В этом случае класс эквивалентности $m \in M$ дан кем-то $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (следовательно $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$), и определим $R$-модульная структура в $M/S$ от $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$

Answer 2

Поэтому для потомков я хочу написать ответ для других, у которых может быть такое же замешательство. Как пояснил @KCd, элементы$Free(V\times W)$ имеют форму,

$$\sum r_i(v_i, w_i)$$

Однако если мы напишем конкретный элемент $Free(V\times W)$ так как $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ и $v_3 = v_1 + v_2$ тогда $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ Другими словами, внутри круглых скобок в обозначениях мы не берем формальные суммы, а вместо этого объединяем элементы модуля, как обычно.