Независимая выборка зависимых случайных величин

Question

Позволять $x_1, \ldots, x_n$быть возможно зависимыми случайными величинами, каждая из которых принимает значения$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Предположим далее, что в каждом исходе количество случайных величин, равных 2, равно 1. Теперь для каждого$i \in \{1, \ldots, n\}$ определить $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ и для каждого $i \in \{1, \ldots, n\}$ позволять $y_i$ случайная величина Бернулли, равная 1 независимо с вероятностью $f_i$ и 0 в противном случае.

Верна ли следующая гипотеза или есть распределение на $x_i$это опровергает?

Гипотеза: существует фиксированная$\epsilon > 0$ (т.е. $\epsilon$ будучи независимым от $n$) такое, что с вероятностью не менее $\epsilon$, есть ровно один индекс $i$ где $y_i = 1$.

Связанный вопрос: границы дисперсии суммы зависимых случайных величин

Answer 1

Ответ - «нет» (если я правильно понял вопрос).

Рассмотрим следующее обменное совместное распределение $x_i$с. В случае$A$, которые происходят с вероятностью $1/\sqrt n$, все $x_i$s равны 1, кроме одного 2. В случае дополнения $B$, все $x_i$s равны 0, кроме одного 2.

В рамках этого распределения $f_i$ либо 0, либо $1/\sqrt n$. Позволять$Y=\sum y_i$. поскольку$E[ Y|A]=\sqrt n$, и $E[Y|B]=1/\sqrt n$, в любом случае это слишком далеко от 1; следовательно, вероятность того, что существует ровно один положительный$b_i$ исчезает.