О спектре ограниченного линейного оператора

Question

Согласно [википедии] [1]

Позволять $T$ - линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве $X$ над комплексным скалярным полем $\mathbb{C}$ и $I$ быть оператором идентичности на $X$. Спектр$T$ это набор всех $\lambda \in \mathbb{C}$ для чего оператор $T-\lambda I$ не имеет обратного, являющегося ограниченным линейным оператором

Мне это определение кажется неточным из-за следующего. Потому как$X$ Банах, если $T$имеет обратный, [этот обратный должен быть ограничен] [2]. Но (на мой взгляд) определение в Википедии может вводить в заблуждение, потому что можно подумать, что может случиться так, что$T-\lambda I$ обратим, но не ограничен, и в этом случае $\lambda$ кажется также элементом спектра $T$согласно приведенному выше определению. Я думаю, что лучшим определением спектра в этом случае будет набор всех комплексных чисел, таких как$T-\lambda I$ не обратима.

Вопрос: если$X$считается нормированным, а не банаховым, какое определение спектра лучше всего? Одно требование$T-\lambda I$не быть обратимым или не обратимым и ограниченным?

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)#:~:text=%2C%20for%20all%20) .-, Basic% 20properties, подмножество% 20of% 20the% 20complex% 20plane. & Text = would% 20be% 20defined% 20everywhere% 20on% 20the% 20complex% 20plane% 20and% 20bounded. 20спектр, ограниченный% 20на% 20% 7C% 7CT% 7C% 7C. [2]: Обратный к ограниченному оператору?

Answer 1

Если $T-\lambda I$ инъективно, то $T-\lambda I$ будет иметь инверсию $\mathcal{R}(T-\lambda I)$, но это не гарантирует, что $(T-\lambda I)^{-1} : \mathcal{R}(T-\lambda I)\subset X\rightarrow X$ограничено. Например, рассмотрим$T : L^2[0,1]\rightarrow L^2[0,1]$ определяется $$ Tf = \int_0^x f(t)dt. $$ $T$ограничено. Хотя обратное$T^{-1}g = g'$ закрыт, он определен только для функций $g \in L^2[0,1]$ которые

$\;\;\;$(i) абсолютно непрерывный,
$\;\;\;$(ii) исчезают в $0$, и
$\;\;\;$(iii) иметь интегрируемую с квадратом производную на $[0,1]$.

более того $T^{-1}$не ограничен в своей области определения; поэтому невозможно продлить$T^{-1}$таким образом, чтобы он был непрерывным. Если диапазон$T$ были все $X$, так что обратное $T$ были определены везде на $L^2[0,1]$, тогда ваш аргумент будет применим, потому что $T$был бы определен на банаховом пространстве и имел бы замкнутый граф. Но этого не должно быть, даже если$T^{-1}$ существует, поскольку в данном случае этого не происходит.