О связи гомологии и гомотопии
В последнем семестре я изучал гомологическую алгебру и теорию высших категорий / теорию гомотопий.
Но меня немного сбивает с толку, когда я пытаюсь по-настоящему понять связь между двумя предметами (на самом деле это не моя зона комфорта ...)
Поэтому я пытаюсь написать (своего рода самоупражнение) текст по гомологической алгебре и теории гомотопий, но на самом деле вводить из $0$ два предмета.
Я хотел бы ввести следующие понятия в гомологической алгебре:
- цепной комплекс
1$\frac{1}{2}$. Группа Гротендик
гомотопия комплекса
производная категория
т-структуры
А также я хотел бы ввести следующие понятия в теории гомотопии:
Категории моделей
Гомотопическая категория модельной категории
Деривация в настройке категорий модели
Квазикатегории
4.5. симплициальный объект в категории и гомотопия в этом контексте
- Эквивалентность Дольд-Кана
Теперь приступим к «жесткой» части:
Как правильно организовать эти концепции? Для 1-3 (либо в гомологии / гомотопии) я думаю, что знаю, как это сделать, но для 3-5, особенно в гомотопии, я понятия не имею ...
Это вызывает у меня вопросы:
- Как мотивировать бесконечные категории или, в более общем смысле, теорию гомотопий / теорию высших категорий, но с гомологической точки зрения. Я где-то читал, может быть, хорошую идею:
Для абелевой категории $\mathcal{A}$, производная категория $\mathcal{D(A)}$ не определяется универсальным свойством.
Я где-то читал, что в некотором смысле теория высших категорий решает проблему. Хорошо, но почему? И нужны ли нам квазикатегории или для этого будет достаточно категорий моделей?
- Если у кого-то есть идея систематизировать этот текст, я открыт для любых предложений.
Буду признателен, если кто-нибудь подскажет мне, как делать это самоупражнение.
Ответы
Я бы посоветовал ОП прочитать сочинения других по этой теме, прежде чем пытаться написать что-то с нуля. Я посещал лекции в ОГУ, где Аарон Мазель-Джи мотивировал$\infty$-категории очень похожи на OP, предложенные в вопросе 1. Похоже, здесь появились некоторые идеи из этих лекций .
Что касается вопроса 2, то книга Вейбеля « Введение в гомологическую алгебру» отлично справляется с первым набором тем, затем книга Хови (или Дуайер-Спалински ) дает первые три элемента во втором сборнике, а книги Лурье дают вам все, что вы можете пожелать. о квазикатегориях и их связи с модельными категориями и гомологической алгеброй (серьезно, введения, которые он пишет для каждой главы, феноменальны). Что касается переписки Дольд-Кан, хотя я уверен, что она встречается где-то в трудах Лурье, самое ясное изложение, которое я где-либо читал, принадлежит Ахилу Мэтью.
Я согласен с Артуром в том, что если бы вы были настроены более категорично, вы могли бы изменить порядок вещей (например, начиная с Лурье, если бы вы уже знали о симплициальных наборах). Что касается меня, я бы предпочел начать с чего-то конкретного, а затем постепенно построить абстракцию поверх этого, как предполагает этот порядок. Книга Вейбеля действительно написана таким образом, чтобы облегчить переход к триангулированным категориям, модельным категориям и квазикатегориям. Но он начинается в месте, очень доступном для алгебраистов.
Я сначала отвечу на твой второй вопрос. В какой-то степени выбранный вами порядок будет во многом зависеть от того, хотите ли вы привести примеры или полную абстракцию. В качестве примера вы можете ввести проективные разрешения и производную категорию, используя только факты о$\text{Ch}(\mathcal{A})$ и исчисление дробей Оре (см. книгу Вейбеля для подобного обращения), или вы можете ввести категории моделей, доказать их свойства, доказать, что $\text{Ch}(\mathcal{A})$допускает проективную структуру модели с использованием аргумента малого объекта (см. эту страницу nLab для краткого описания аргумента) и, таким образом, приходит к описанию производной категории как гомотопической категории.
Лично я считаю, что вторая версия была бы излишне запутанной, и было бы разумнее сначала ввести некоторую гомологическую алгебру, не в последнюю очередь потому, что таким образом вы можете представить структуру проективной модели в качестве примера структуры модели, проективное разрешение в качестве примера кофибрантное разрешение, производная категория как пример гомотопической категории и так далее; эти концепции могут быть трудными для понимания без нескольких примеров! Но вам доступны оба заказа.
По вопросу о модельных категориях и квазикатегориях: модельные категории можно рассматривать как «презентации» для квазикатегорий (см. Эту страницу nLab, чтобы узнать об этой перспективе, и приложения A.2 и A.3 теории высших топосов Лурье для развития теории категории модели с этой явной целью). Квазикатегории имеют несколько преимуществ перед категориями моделей: например, существует квазикатегория функторов из одной квазикатегории в другую, тогда как аналогичное утверждение не выполняется для категорий моделей. Однако модельные структуры активно участвуют во многих фундаментальных доказательствах, касающихся квазикатегорий, поэтому нет двух способов упорядочить эти темы.
По вашему первому вопросу: лично я не считаю, что гомологическая алгебра является достаточной мотивацией для введения либо модельных категорий, либо бесконечных категорий. Как указано в комментариях, триангулированная категория$\mathcal{D}(\mathcal{A})$не допускает функториальных конусов, и это раздражает в некоторых приложениях, но люди в основном хорошо ладили с применением гомологической алгебры в течение десятилетий, прежде чем люди начали говорить о dg- и квазикатегориях. На мой взгляд, более строгим порядком для вашего текста было бы введение основных понятий из гомологической алгебры, а затем использование их в качестве примеров, когда вы начинаете говорить о модельных категориях и, наконец, о квазикатегориях.
К вопросу об универсальном свойстве $\mathcal{D}(\mathcal{A})$используя бесконечные категории, вы можете найти раздел 1.3.3 Высшей алгебры Лурье полезным. Однако обратите внимание, что$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ безусловно, имеет универсальное свойство в обычном 1-категориальном языке: это локализация $\text{Ch}(\mathcal{A})$ при квазиизоморфизмах.