О выражении алгебр как тензорных произведений в виде декартовых произведений полей

Aug 19 2020

Я имею дело с этим вопросом в курсе Введение в теорию Галуа:

Какие из следующих алгебр являются полями? Продукция полей? Опишите эти поля.

  1. $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
  2. $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
  3. $\mathbb{F}_2(\sqrt{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_2(T)} \mathbb{F}_2(\sqrt{T}) $
  4. $\mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_4(T)} \mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) $

Уточняя вопрос, могу сказать:

$.\otimes_{A}.$ обозначение тензорного произведения двух алгебр или модулей над кольцом A.

В моем курсе тензорное произведение определяется универсальным свойством.

$\mathbb{F}_2$ и $\mathbb{F_4}$ обозначать $\mathbb{Z}_2$ и $\mathbb{Z}_4$ соответственно.

Мой прогресс:

Я знаю, что любая конечная алгебра имеет конечное число максимальных идеалов.

Сказать $m_1,...,m_k$ - максимальные идеалы нашей конечной алгебры A. Тогда $A \cong \frac{A}{m_1^{n_1}}\times ...\times \frac{A}{m_r^{n_r}}$ для некоторых $n_i\in\mathbb{N}$.

Следовательно, если $\space $$\ forall i \ space; n_i = 1 $ , тогда A - произведение полей.

Также есть несколько полезных теорем, о которых я упоминал в своем документе с ответами, ссылка на который приведена ниже в моем ответе на эту проблему.

Я написал все свои подробные ответы в следующем документе, но я не совсем уверен в них (особенно в частях 3 и 4).

Щелкните здесь, чтобы перейти по ссылке на документ Google.

После того, как вы увидели мои ответы, я бы хотел добавить следующее:

В части 3 я показал в своих ответах, что:

$ \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _2 (T)} \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ cong \ frac {\ mathbb { F} _2 (\ sqrt {T}) [U]} {(U- \ sqrt {T}) ^ 2} $, где $ U $ - переменная. Так что это не поле из-за наличия нильпотентных элементов, таких как $ U- \ sqrt {T} $ . Но я не могу показать, может это быть продукт полей или нет?

Также в части 4 я показал в своих ответах, что:

$ \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _4 (T)} \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ cong \ frac {\ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) [U]} {U ^ 3-T} $

Но теперь я застрял и больше не могу сказать о продукте полей.

Любая помощь, ведущая к прогрессу, будет принята с благодарностью.

Ответы

1 AnginaSeng Aug 20 2020 at 05:29

Для 3, как вы говорите, у вас есть нильпотентный элемент в тензорном произведении. Этого не может произойти в продукте полей. Если мы имеем$R=F_1\times\cdots\times F_n$, продукт полей и $(a_1,\ldots,a_n)^2$ равен нулю в $R$ тогда $a_i^2=0$ в каждом $F_i$ так что $a_i=0$ (в виде $F_i$это поле). В этом примере тензорное произведение не является произведением полей.

Для расширения полей $F_1/F$, $F_2/F$ затем тензорное произведение $F_1\otimes_F F_2$ может не быть продуктом полей только тогда, когда оба $F_1/F$ и $F_2/F$ являются неотделимыми расширениями, и здесь это именно так.

Но в случае 4 у вас есть отдельные расширения. Конечно$F_1/F$ здесь является расширением Куммера как $F=\Bbb F_4(T)$ имеет три кубических корня из единицы: $1$, $\omega$ и $\omega^2$. потом$$F_1\otimes _F F_1\cong F_1\times F_1\times F_1$$ через $$a\times b\mapsto (ab,a\sigma(b),a\sigma^2(b))$$ где $\sigma:F_1\to F_1$ автоморфизм, переводящий $\sqrt[3]T$ к $\omega\sqrt[3]T$.