Об одном разложении по функциям Шура
Этот вопрос связан с этим другим
Гипотеза Шура о положительности, связанная с перестановками строк и столбцов
Ричарда Стэнли (спасибо Сэму Хопкинсу за то, что он сообщил мне об этом).
Рассмотрим подгруппу Юнга $S_{\lambda}$ симметрической группы $S_n$, соответствующий некоторому целочисленному разбиению $\lambda$ из $n$. Позволять$\tau$ - некоторая перестановка и определим симметрическую функцию
$$ F(\tau)=\sum_{\sigma\in S_{\lambda}}p_{c(\tau\sigma)} $$ где $p_{\mu}$ - обычная симметричная функция степенной суммы и $c(\rho)$ обозначает целочисленное разбиение, заданное циклическим типом перестановки $\rho$.
Вопрос: Что известно о разложении функции Шура$F(\tau)$, учитывая двойной класс смежности $\tau$ для подгруппы Юнга?
Ответы
Один факт в том, что $F(\tau)$ положительна по Шуру тогда и только тогда, когда $\tau\in S_\lambda$. В более общем смысле, если$K$ любой смежный класс (левый или правый) любой подгруппы $G$ из $S_n$, тогда $\sum_{\sigma\in K}p_{c(\sigma)}$ положительна по Шуру тогда и только тогда, когда $K=G$. Единственное известное доказательство части «если» требует теории представлений; см. Перечислительная комбинаторика , т. 2, стр. 396. Для части «только если» легко увидеть, что если ненулевая линейная комбинация$\sum_{\lambda\vdash n} a_\lambda p_\lambda$ степенных сумм положительна по Шуру, то $a_{1^n}>0$.