Обязательно ли линия поверхности, состоящая из плоских точек,?
Мне сложно доказать следующее утверждение, которое сначала казалось мне интуитивно верным.
Позволять $S$ быть поверхностью в $\mathbb{R}^{3}$. Предположим, что существует кривая$\gamma$ в $S$ все точки которого плоские, т. е. вторая фундаментальная форма $\alpha$ (или, что то же самое, оператор формы) $S$ исчезает во всех точках $\gamma$. Означает ли это, что$\gamma$ часть прямой линии?
Этот вопрос связан с существованием непрямых асимптотических кривых в $S$. Как известно, кривая$\gamma$ такой, что $\alpha(\dot{\gamma},\dot{\gamma})=0$ не обязательно быть частью прямой линии.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Как указывает Arctic Char, это утверждение в целом неверно. Что произойдет, если мы предположим, что для каждого открытого района$U$ (в $S$) кривой $\gamma$, нет самолета $P$ такой, что $U \subset P$?
Ответы
Возьмем, к примеру, поверхность, параметризованную $$ x(u,v) = (u, v, (u^2-v)^3). $$ Легко видеть, что вторые производные $x_{uu}$, $x_{uv}$, $x_{vv}$ равны нулю вдоль кривой $v = u^2$, а значит, оператор формы обращается в нуль вдоль этой кривой. Однако кривая представляет собой параболу в$xy$-самолет, а не прямая.