обнаружение $\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$

Question

$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$ этот предел согласно вольфрамальфе равен $0$.

Так что это моя работа до сих пор

$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$ выход $\infty - \infty$ что является неопределенной формой.

Итак, я в основном, но с тем же знаменателем: $\frac{1}{3}$ $((3x + 2x^3 - 2(x^2+1)^{\frac{3}{2}})$ и повернулся $2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}$ во что-то более легкое в работе $2\sqrt{x^2+1}+2x^{2}\sqrt{x^2+1}$

теперь предел $\frac{1}{3} \lim_{x \to \infty} ((3x + 2x^3-2\sqrt{x^2+1} -2x^{2}\sqrt{x^2+1})$ и это то место, где я застрял, чтобы сделать следующее, и потерялся.

Answer 1

$$x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{\left(x+\frac{2}{3}x^3\right)^2-\frac{4}{9}(x^2+1)^3}{x + \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}}=$$ $$=\frac{-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{9}}{x + \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}}=\frac{-\frac{1}{3x}-\frac{4}{9x^3}}{\frac{1}{x^2} + \frac{2}{3}+ \frac{2(1+\frac{1}{x^2})^{\frac{3}{2}}}{3}}\rightarrow0$$ для $x\rightarrow+\infty.$

Answer 2

Во-первых, обратите внимание $$3x+2x^3-2(x^2+1)^{3/2}=\frac{3x^2+4}{-3x-2x^3-2\sqrt{x^2+1}-2x^2\sqrt{x^2+1}}.$$ Вершина квадратична, а нижняя возрастает порядка $x^3$, следовательно, предел при $x\to \infty$ равно нулю.

Answer 3

По биномиальному приближению

$$(x^2+1)^{\frac{3}{2}}=(x^2)^{\frac{3}{2}}\left(1+\frac1{x^2}\right)^{\frac{3}{2}} = x^3+\frac32 x +O\left(\frac1{x}\right)\implies \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{2x^{3}}{3}+x+O\left(\frac1{x}\right)$$

следовательно

$$x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=O\left(\frac1{x}\right)\to 0$$

Answer 4

Подсказка:

WLOG $x=\tan y\implies y\to\dfrac\pi2$

$$\dfrac{3\tan y+2\tan^3y-2\sec^3y}3$$

$$=\dfrac{3\sin y\cos^2y+2\sin^3y-2}{3\cos^3y}$$

Числитель $$=3(1-\sin^2y)\sin y+2\sin^3y-2=\cdots=(1-\sin y)^2(2\sin y+1)$$

Наконец используйте $$\dfrac{1-\sin y}{\cos y}=\dfrac{\cos y}{1+\sin y}$$

Answer 5

Вы должны помнить, что $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$, поскольку $(c-d)(c+d)=c^2-d^2$. Это должно помочь вам упростить выражение с квадратным корнем.

Хотя я не понимаю, как вы получили то, что написали, из того, что я вижу, вы должны получить:

$$ x+ \frac{2x^3}{3}-\frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x +\frac{2}{3}\Big( \frac{x^6-(x^2+1)^3}{x^3 +(x^2+1)^{ \frac{3}{2} } } \Big)=x+\frac{2}{3}\frac{-3x^4-3x^2-1}{x^3+(x^2+1)^{ \frac{3}{2} }}$$

Answer 6

$$A=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^3}{3}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3/2}$$ На последний срок позвольте $\frac{1}{x^2}=\epsilon$ и используйте биномиальное разложение $$(1+\epsilon)^{3/2}=1+\frac{3 \epsilon }{2}+\frac{3 \epsilon ^2}{8}+O\left(\epsilon ^3\right)$$ Заменить $\epsilon$ от $\frac{1}{x^2}$ делать $$\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3/2}=1+\frac{3}{2 x^2}+\frac{3}{8 x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)$$ $$A=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^3}{3}\left(1+\frac{3}{2 x^2}+\frac{3}{8 x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)\right)$$ $$A=-\frac{1}{4 x}+O\left(\frac{1}{x^3}\right)$$