Обобщая процесс суммирования для бесконечных множеств
Сегодня я задумался о сумме всех целых чисел $\mathbb Z$.
Мы знаем это $\mathbb Z$ является счетным множеством. Это означает, что мы можем перечислить все элементы $\mathbb Z$, поэтому мы можем решить задачу с помощью сумм:
$$\sum_{z\in \mathbb Z}z=\sum_{z=1}^\infty z + (-z) = 0$$
Итак, сумма всех целых чисел равна 0. По тому же аргументу мы получаем, что суммы всех рациональных чисел $\mathbb Q$ также 0.
Мой первый вопрос: верен ли этот аргумент?
Тогда я задаюсь вопросом: тогда какова сумма всех действительных чисел $\mathbb R$?
В отличие от $\Bbb Z$ и $\Bbb Q$, набор $\Bbb R$не исчисляется. Это означает, что невозможно перечислить количество$\Bbb R$и поэтому невозможно суммировать все числа с помощью суммы. Первое, что пришло мне в голову, это интегралы. Иногда я склонен думать об интегралах как о непрерывной версии суммирования. Итак, мы можем выразить сумму всех действительных чисел как:
$$\int_{-\infty}^\infty x \ dx = 0$$
Это позволяет суммировать все элементы бесчисленных множеств. Например, из всех элементов$(0,1)$, использование этого метода будет:
$$\int\limits_{x\in (0,1)} x \ dx = \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2}$$
Мой второй вопрос: правильно ли это обобщение?
Мой третий вопрос возникает, когда, полагая, что этот метод верен, я пытался вычислить сумму всех иррациональных чисел. Если метод верен, тогда сумма всех иррациональных чисел будет:
$$\int\limits_{x\in\mathbb I} x \ dx$$
Но я не знаю, как вычислить интеграл, потому что (я не знаю точного математического термина для того, что я собираюсь сказать, поэтому извините, если это звучит не очень строго), в нем есть «дыры». Между каждыми двумя иррациональными числами есть рациональное число!
Если мы попытаемся интегрировать функцию по $(0,1) \cup (2,3)$ в этом тоже есть дыра, но мы можем разделить интеграл пополам: один на $(0,1)$ а другой более $(2,3)$. Если мы попытаемся использовать это в нашем интеграле по$\mathbb I$ мы бы получили:
$$\sum_{q \in \Bbb I} \int\limits_{x\in\{q\}} x \ dx$$
Но у нас с этим две проблемы:
Во-первых, этот интеграл является интегралом по точке, и это означает ноль. Так что это не идеально, потому что это означало бы, что сумма любого несчетного множества всегда будет равна нулю.
Мы не можем использовать там обычное суммирование, потому что снова множество $\Bbb I$ не исчисляется.
Итак, мы пытались избежать регулярного суммирования, обобщая его с помощью интегралов, но затем оно снова выскакивает!
Итак, мой третий и последний вопрос: даже если мое обобщение неверно, все же возможно оценить этот интеграл?
Ответы
Такие надуманные предположения дают разные ответы, например: $\Sigma$Z
= 0 + 1 + 2 - 1 + 3 - 1 + ...
= 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... =$\infty$
= 0 - 1 - 2 + 1 - 3 + 2 - 4 + 3 - ...
= 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - ... = -$\infty$