«Обратный» $N$проблема с телом [закрыто]

Question

Есть известный $N$проблема тела в классической механике: заданы начальные положения и скорости $N$ частицы в некотором пространстве, описывают их динамику на некотором интервале времени.

Меня интересует некоторая форма «обратной» задачи: предположим, что мы знаем, что есть $(N+1)$частицы в некотором пространстве. Нам даны траектории$N$этих частиц за некоторый промежуток времени. Проблема в том, чтобы восстановить траекторию движения$(N+1)$-я частица за тот же интервал времени.

Предполагается, что основное силовое поле известно. Например, мы можем предположить, что каждая пара частиц притягивается по закону обратных квадратов.

Какое правильное общепринятое название для этой проблемы? Описана ли эта проблема в литературе?

Answer 1

Если система изолирована, то центр масс этой системы движется с постоянной (обычно нулевой) скоростью. $\mathbf{v}_c$: $$ \sum_{i=1}^{N+1}m_i\mathbf{r}_i(t)=M \mathbf{r}_c(t)=M(\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_c t) $$ Если $\mathbf{r}_i(t)$ известны всем $i=1,\ldots,N$, тогда $\mathbf{r}_{N+1}(t)$можно получить из этого уравнения: \ begin {уравнение} \ tag {1} \ mathbf {r} _ {N + 1} (t) = \ frac {1} {m_ {N + 1}} \ left (M ( \ mathbf {r} _0 + \ mathbf {v} _c t) - \ sum_ {i = 1} ^ {N} m_i \ mathbf {r} _i (t) \ right) \ end {уравнение} Это уравнение содержит 2 неизвестных параметра : исходное положение центра масс$\mathbf{r}_0$ и его скорость $\mathbf{v}_c$. Эти параметры можно (предположительно) получить, потребовав выполнения уравнений движения (так как закон взаимодействия известен).

ОБНОВИТЬ:

Чтобы получить $\mathbf{r}_0$ а также $\mathbf{v}_c$ из уравнений движения:

Предположим, что потенциальная энергия равна: $U=\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=i+1}^{N+1}U(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)$. Тогда уравнение движения для каждой частицы:$$ m_i\mathbf{\ddot{r}}_i=-\sum_{k=1}^{N+1}U'(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|} $$ Для первой частицы: $$\tag{2} m_1\mathbf{\ddot{r}}_1=-\sum_{k=1}^{N}U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|}-U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}}{|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{N+1}|} $$ Подставляя решение (1) в уравнение (2) и полагая $t=0$ приводит к уравнению для $\mathbf{r}_0$. Конечно, уравнение может быть нелинейным и иметь несколько решений.

После $\mathbf{r}_0$ находится, $\mathbf{v}_c$ можно получить из того же уравнения (2) для $t>0$.