Оценка $\left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right| $
Как мне найти значение следующего выражения? $$ \left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right| $$
Я пробовал записать числитель как $\tan 40^\circ - \tan80^\circ -\tan20^\circ,$ но потом выражение усложнилось.
Ответы
Прежде всего у нас есть (см . Закон Морри )$$ \tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ=\sqrt{3}. $$ В числителе устанавливается $x=20^\circ,$ \begin{align} &\tan40^\circ+\tan100^\circ+\tan160^\circ=\\ &\qquad\qquad=\tan(60^\circ-x)+\tan(120^\circ-x)+\tan(180^\circ-x)=\\ &\qquad\qquad= \frac{\tan 60^\circ-\tan x}{1+\tan 60^\circ\tan x}+ \frac{\tan120^\circ-\tan x}{1+\tan120^\circ\tan x}+ \frac{\tan180^\circ-\tan x}{1+\tan180^\circ\tan x}=\\ &\qquad\qquad= \frac{ \sqrt{3}-\tan x}{1+\sqrt{3}\tan x}+ \frac{-\sqrt{3}-\tan x}{1-\sqrt{3}\tan x}- \tan x=\\ &\qquad\qquad= \frac{\sqrt{3}\cos x-\sin x}{\cos x+\sqrt{3}\sin x}- \frac{\sqrt{3}\cos x+\sin x}{\cos x-\sqrt{3}\sin x}- \frac{\sin x}{\cos x}=\\ &\qquad\qquad= -3\cdot\frac{3\sin x\cos^2 x-\sin^3 x}{\cos^3 x-3\sin^2 x\cos x}=\\ &\qquad\qquad=-3\cdot\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}=-3\tan60^\circ=-3\sqrt{3} \end{align}
Итак, окончательный результат $$ \left| \frac{\tan40^\circ + \tan100^\circ + \tan160^\circ}{\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ} \right|=\left|\frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right|=3 $$
@enzotib Уже точно ответил на ваш вопрос, а я сошел с ума, пытаясь решить эту проблему. Тем не менее, я хочу показать вам свой метод, который основан на нахождении наилучшего приближения этого выражения. (Помните, это основано на приближении, поэтому мы не сможем получить идеальное значение). Идея состоит в том, чтобы упростить вычисления, чтобы вы могли найти значение этого выражения без калькулятора.
Начнем с числителя:
$tan40+tan100+tan160 = tan40-tan80-tan20$ потому что 100-80 и 160-20 - это пары связанных углов.
Я оставлю знаменатель как есть.
Теперь мы должны найти тангенсы этих углов. Воспользуемся приближением малых углов, согласно которому$tanx = x$для малых углов, измеряемых в радианах (конечно, чем меньше угол, тем лучше приближение). Теперь я применим это приближение, чтобы найти значение tan20 °, но сначала мне нужно преобразовать 20 ° в радианы.
20 это $\frac{180}{9}$ и $180$ является $\pi$ радианы, так что $20° = \frac{\pi}{9} \approx tan20°$ из-за приближения малого угла.
Чтобы избежать долгих и сложных вычислений, лучше, если мы попробуем найти значение для $\frac{\pi}{9}$.
$\pi \approx 3$,так $\frac{\pi}{9} \approx \frac{3}{9} \approx \frac{1}{3} \approx 0.33$.
Имейте в виду, что мы начинаем с округленного значения в меньшую сторону, поэтому в следующий раз, когда нам понадобится приближение, если ситуация позволяет, мы должны использовать округленное значение.
Давайте теперь найдем tan40 ° по формуле двойного угла:
$tan2x= \frac{2tanx}{1-tan^2x}$
$tan40=\frac{2tan20}{1-tan^220} = \frac{2*0.33}{1-(0,33)^2} = \frac{0.66}{1-0.1} = \frac{0,66}{0,9} \approx \frac{0,7}{0.9} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{7}{9} = 0,77 \approx 0,8$
Теперь мы округлили в большую сторону при приближении дроби и при приближении окончательного значения, поэтому в следующий раз мы округлим в меньшую сторону, если это возможно.
Теперь я снова применим формулу двойного угла, чтобы найти $tan80$
$tan80 = \frac{2tan40}{1-tan^240} = \frac{2*0.8}{1-(0.8)^2} = \frac{1.6}{1-0.64} = \frac{1.6}{0,36} \approx \frac{1,6}{0,4} = 4 $
Мы приблизили 0,36 к 0,4, поэтому мы округлили немного вниз, потому что знаменатель стал больше.
Теперь мы можем найти значение для исходного выражения:
Числитель:
$tan40-tan80-tan20 = 0,8-4-0,33=-4,33+0,8=-3,53 $
Знаменатель:
$tan20tan40tan80 = 0,8*4*0,33 = 3,2*0,33 \approx 3,2*0,3 = 3,2*\frac{3}{10} = \frac{9,6}{10} = 0,96 $
Теперь давайте перекомпонуем дробь:
$\frac{3,53}{0,96}$
Мы в такой ситуации: мы начали со слегка округленного значения tan20 °, затем мы округлили tan40 ° два раза (сильное округление вверх), а затем немного округлили tan80 ° вниз. Числитель -tan20 ° + tan40 ° -tan80 °, это означает, что + tan40 ° должно быть избыточным значением, потому что tan40 ° был аппроксимирован с превышением в два раза, а tan80 ° был слегка аппроксимирован дефектом, затем я добавляю tan20 °, что является значением приблизительно по дефекту, поэтому в числителе должно быть слишком большое значение.
Теперь давайте проанализируем знаменатель: 0,8 - это избыточное значение (tan40 °), а 4 - немного меньшее значение, чем реальное, поэтому 4 * 0,8 немного завышено, но я немного умножил его на меньше нуля. меньшее значение, поэтому мы должны быть немного ниже + окончательное значение было округлено в меньшую сторону, поэтому у меня должно быть только очень небольшое превышение
Числитель: средне-высокий избыток Знаменатель: очень низкий избыток сбалансированный
В целом: средне-высокий избыток
Небольшое превышение в знаменателе означает, что дробь слегка аппроксимируется дефектом, но теперь мы должны добавить средне-высокое превышение в числителе, так что в целом эта дробь имеет значение выше обычного, поэтому, если возможно, мы собираюсь попытаться округлить.
(Я удалил знак - в последней дроби, потому что выражение имеет абсолютное значение)
Окончательный ответ с учетом всех этих приближений должен быть таким:
$\frac{3,53}{0,96} \approx \frac{3,5}{1} \approx 3,5 $
Я приблизился таким образом, чтобы числитель был немного ниже, а числитель немного больше, пытаясь компенсировать мое чрезмерное округление.
Как видите, значение немного не так, потому что оно должно быть 3, вероятно, из-за моего агрессивного округления при работе с tan40 °.
Да, это не точный ответ, это просто моя попытка приблизить значение этого выражения, конечно, точный ответ, опубликованный @enzotib, намного лучше
Обратите внимание, что каждый $\newcommand{\degree}{{\lower{.5pt}\Large\circ}}x\in\left\{20^\degree,-40^\degree,80^\degree\right\}$ удовлетворяет $$ \begin{align} \sqrt3 &=\tan(3x)\\ &=\frac{3\tan(x)-\tan^3(x)}{1-3\tan^2(x)}\tag1 \end{align} $$ Таким образом, $$ \tan^3(x)-3\sqrt3\tan^2(x)-3\tan(x)+\sqrt3=0\tag2 $$ Виета говорит, что сумма корней является отрицательной величиной коэффициента$\tan^2(x)$. То есть,$$ \tan\left(20^\degree\right)-\tan\left(40^\degree\right)+\tan\left(80^\degree\right)=3\sqrt3\tag3 $$а произведение корней - отрицательное значение постоянного члена. То есть,$$ -\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)=-\sqrt3\tag4 $$ Следовательно, $$ \begin{align} \frac{\tan\left(40^\degree\right)+\tan\left(100^\degree\right)+\tan\left(160^\degree\right)}{\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)} &=\frac{\tan\left(40^\degree\right)-\tan\left(80^\degree\right)-\tan\left(20^\degree\right)}{\tan\left(20^\degree\right)\tan\left(40^\degree\right)\tan\left(80^\degree\right)}\\[6pt] &=-3\tag5 \end{align} $$ Просто возьмите абсолютное значение $(5)$.