Оценка предела последовательности вероятностей

Question

Позволять $X_1, X_2, \ldots$ - последовательность iid случайных величин с распределением, сосредоточенным на $[1,\infty)$и конечный второй момент. Мы предполагаем, что$a=E\ln X_1$, $\sigma^2=\operatorname{Var}\ln X_1$.

Как оценить предел последовательности вероятностей $$\Pr\left(\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}\right) ? $$Понятия не имею, с чего начать. Я предполагаю, что это может быть связано с центральной предельной теоремой, но я не уверен.

Answer 1

Взять логарифм и позволить $Y_{i} = \ln(X_{i})$:

$$\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}$$

$$\begin{align} &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} + na\\ &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \\ &\Longleftrightarrow A_{n} \equiv \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \end{align}$$

Первый член сходится по распределению к $N(0, \sigma^{2})$ по центральной предельной теореме, а второе слагаемое по вероятности сходится к $-2a$ по слабому закону больших чисел, поэтому $A_n$ сходится по распределению к $N(-2a, \sigma^{2})$.

$$\mathbb{P}(A_{n} \leq 0 ) \rightarrow \Phi\left(\frac{2a}{\sigma}\right)$$

Где $\Phi$ это стандартный нормальный cdf.