Ограничение разветвленной оболочки местом ее ветвления
Предположим, что у нас есть гладкая компактная сложная поверхность $X$, а гладкий и неприводимый дивизор $B \subset X$. Позволять$G$конечная группа. Для всякого группового эпиморфизма$$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G,$$ по теореме Грауэрта-Реммерта о продолжении существует гладкая комплексная поверхность $Y$ и обложка Галуа $$f \colon Y \to X,$$ с группой Галуа $G$ и разветвленный не более чем $B$.
С $B$ гладкая, успокаивающая $R =f^{-1}(B) \subset Y$ мы видим, что ограничение $$f|_R \colon R \to B$$ представляет собой неразветвленную обложку Галуа с группой Галуа $H=G/G_R$, где $G_R$ стабилизатор кривой $R$. Такое покрытие Галуа должно, в свою очередь, соответствовать групповому гомоморфизму$$\psi \colon \pi_1(B) \to H,$$ это сюръективно тогда и только тогда, когда $R$ неприводимо.
Вопрос. Как мы можем восстановить чисто алгебраическим способом отображение$\psi$ из $\varphi$ и из гомоморфизмов (индуцированных отображениями включения) $$i_* \colon \pi_1(X-B) \to \pi_1(X), \quad j_* \colon \pi_1(B) \to \pi_1(X)?$$
Здесь «чисто алгебраическим способом» означает (например), что, если я реализовал три гомоморфизма $\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G$, $i_*$ а также $j_*$ в таком программном обеспечении, как GAP4, должна быть, по крайней мере в принципе, конечная последовательность команд, обеспечивающих $\psi \colon \pi_1(B) \to H$.
Я ожидаю, что это возможно, так как $\varphi$ полностью определяет $f \colon Y \to X$, а значит, полностью определяет ограничение $f|_R \colon R \to B$.
Ответы
Полезно переформулировать вопрос в его естественной дифференциальной топологии, оставив в стороне ненужные геометрические соображения. Также естественно рассмотреть аналог задачи во всех измерениях.
Итак, предположим, что нам дана замкнутая ориентируемая связная гладкая $n$-многообразие $X$, и замкнутая ориентируемая связная гладкая коразмерность$2$ подмногообразие $B \subset X$. Мы принимаем основные обозначения, использованные в вопросе. Позволять$G$конечная группа. Для всякого группового эпиморфизма$$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G$$ есть замкнутая, ориентируемая, связная, гладкая $n$-многообразие $Y$ и разветвленное накрытие Галуа (или `` правильное '') $$f \colon Y \to X,$$ с группой преобразования колоды $G$ что разветвлено самое большее $B$.
С $B$ гладкая, успокаивающая $R =f^{-1}(B) \subset Y$ мы видим, что ограничение $$f|_R \colon R \to B$$это неразветвленная обложка. Вопрос требует явного описания этой карты покрытия.
Среди проблем, которые возникают при попытке дать такое подробное описание, являются следующие: $R$ не должно быть связано, что $f|_R:R \to B$ не обязательно быть покрытием Галуа, и что $B$ а также $X-B$ не может иметь одну и ту же базовую точку.
Дополнительный фрагмент данных, необходимый для прояснения ситуации, - это нормальный пучок набора ветвей и его границы, круговой пучок над $B$. С помощью этой дополнительной информации можно эффективно ответить на вопрос. Мы будем с этой точки зрения
- Охарактеризуйте, когда $R$ подключен;
- Охарактеризуйте, когда $f$ фактически разветвлен;
- Охарактеризуйте, когда $R \to B$ это Галуа;
- Покажите, что на каждом компоненте $R$ ограничение разветвленного накрытия на самом деле всегда является накрытием Галуа с явной группой Галуа.
Позволять $N$ обозначим небольшую трубчатую окрестность $B$ в $X$, имеющий структуру $2$-disk bundle over $B$. Позволять$D$ обозначим 2-дисковый слой с краем $C = D \cap \partial N$, связующий круг с $B$. потом$\partial N$ расслоение кругов над $B$, с типичным волокном $C$.
Это круговое расслоение определяется своим классом Эйлера в $H^2(B;\mathbb{Z})$ и определяет точную последовательность гомотопических групп (в которой мы опускаем упоминание необходимых базовых точек) $$ 1 \to \pi_2(\partial N) \to \pi_2(B) \to \pi_1(C) \to \pi_1(\partial N) \to \pi_1(B)\to 1. $$ Образ $\pi_1(C)$ в $\pi_1(\partial N)$лежит в центре из-за нашего предположения об ориентируемости. Единственный случай в размерном ряду$n\leq 4$ что $\pi_2(B)\neq 1$ когда $n=4$ а также $B=S^2$. Во всех других низкоразмерных случаях он сводится к центральному расширению$\pi_1(B)$ от $\mathbb{Z}$.
В общем утверждение, что $R$ связано то же самое, что требовать, чтобы $f^{-1}(\partial N)$быть подключенным. И это переводится в гомоморфизм$$ \varphi j_*:\pi_1(\partial N) \to G $$ быть сюръективным, где $j:\partial N \to X-B$ это включение.
Условие фактического ветвления переводится в условие, что гомоморфизм $$ \varphi i_*:\pi_1(C) \to G $$ нетривиально, где $i:C \to X-B$ это включение.
В целом образ $\varphi j_*:\pi_1(\partial N)\to G$ дает группу преобразований колоды на любой из компонент пути прообраза кругового расслоения $\partial N$ в $Y$. Отсюда следует, что для каждого компонента$R_k$ прообраза набора ветвей, проекция $R_k\to B$ накрытие Галуа с группой преобразований колоды, изоморфной $$ \varphi j_*(\pi_1(\partial N))/ \varphi i_*(\pi_1(C)). $$
Компоненты $R$ переставляются транзитивно действием $G$ на $Y$. Покрытие полного разветвления$R\to B$ - факторное отображение действия $G$ ограниченный $R$. Покрытие$R\to B$ будет Галуа тогда и только тогда, когда изображение $\varphi i_*(\pi_1(C))$ нормальная подгруппа $G$, в этом случае группа покрытия равна $G/ \varphi i_*(\pi_1(C))$.
Заметим, кстати, что поскольку изображение $\pi_1(C)$ занимает центральное место в $\pi_1(\partial N)$, то при наличии нетривиального ветвления и $G$ имеет тривиальный центр, то прообраз множества ветвей не может быть связным.
Вот алгебраическая версия ответа Аллана Эдмондса, которая дополняет мой исходный пост (см. Ниже).
Позволять $\eta\in B$ - точка общего положения, и пусть $A$ быть полным локальным кольцом $\eta\in X$, так $A$полное дискретное оценочное кольцо; позволять$\mathfrak{m}$ - его максимальный идеал, $k = A/\mathfrak{m}$ его поле вычетов (т. е. функциональное поле $B$), а также $K$- его поле дробей. С$R\rightarrow B$ этале и $B$ гладко неприводимо, $R$также является гладким, поэтому его связные или неприводимые компоненты находятся в биекции с его общими точками. Позволять$\epsilon\in R$ общая точка с соответствующей геометрической точкой $\overline{\epsilon}$, и разреши $R_1\subset R$- соответствующий компонент. Позволять$L$ - поле дробей полного локального кольца в точке $\epsilon$, тогда $Gal(L/K) = G_\epsilon := Stab_G(\epsilon)$ и инерционная группа $L/K$ является $G_{\overline{\epsilon}} := Stab_G(\overline{\epsilon})$. Отсюда следует, что$R_1/B$ Галуа с группой Галуа $G_\epsilon/G_{\overline{\epsilon}}$, что согласуется с моим исходным сообщением (ниже).
По структурной теореме Коэна мы можем идентифицировать $K = k((t))$. Аналогом гомотопической точной последовательности Аллана Эдмондса в этом случае является короткая точная последовательность этальных фундаментальных групп
$$1\longrightarrow \pi_1(\text{Spec }\overline{k}((t)))\longrightarrow \pi_1(\text{Spec }k((t)))\longrightarrow\pi_1(\text{Spec }k)\longrightarrow 1$$ (базовые точки даются $\overline{k((t))}$), и с тех пор $k$ содержит все корни из единицы, это центральное расширение (что согласуется с наблюдением Аллана Эдмонда).
Аналог карты Аллана "$i_*$" а также "$j_*$"можно представить следующим образом: Пусть $K' = \overline{k}((t))$, то у нас есть карты
$$\text{Spec }K'\longrightarrow \text{Spec }K\longrightarrow X - B$$ Индуцированное отображение $\pi_1(\text{Spec }K')\rightarrow \pi_1(X-B)$ (с базовой точкой геометрическая точка, заданная $\overline{k((t))}$) является аналогом Аллана "$i_*$", и карта $\pi_1(\text{Spec }K)\rightarrow \pi_1(X-B)$ аналог Аллана "$j_*$", и если $\varphi : \pi_1(X-B)\rightarrow G$ обозначает представление монодромии, то снова мы имеем, что каждая компонента $R$ Галуа закончился $B$ с группой Галуа $$\varphi j_*\pi_1(\text{Spec }K)/\varphi i_*\pi_1(\text{Spec }K')$$ В частности, группа Галуа каждого компонента $R$ является подгруппой фактора централизатора группы инерции по этой группе инерции.
НАЧАТЬ ОРИГИНАЛЬНУЮ ПОЧТУ:
Это не ответ, но это слишком долго, чтобы быть комментарием. Можно получить некоторые ограничения на структуру$R\rightarrow B$ следующим образом:
С точки зрения соответствия Галуа, если $\pi := \pi_1(B)$, $r\in R$ точка, и $F$ волокно $R/B$ содержащий $r\in R$, тогда $F$ находится в взаимно однозначной связи с $G/G_r$, и у вас есть коммутирующие действия $\pi$ а также $G$ на $F$. Образ$\pi$ в $Sym(F)$ таким образом попадает в централизатор $G$-действие. Более того, поскольку$G$-Действие коммутирует с $\pi$-действие, $G$ действует (транзитивно) на $\pi$-орбиты $F$, и, тем более, если $G_{\pi\cdot r}$ обозначает подгруппу $G$ сохранение орбиты $\pi\cdot r$, тогда $G_{\pi\cdot r}$ действует транзитивно на $\pi\cdot r$, и поскольку он также коммутирует с $\pi$-действие, $G_r$ действует тривиально на $\pi\cdot r$. Таким образом$G_r$ внутри нормально $G_{\pi\cdot r}$, а связные компоненты $R$ все изоморфны, каждая компонента является Галуа над $B$ с группой Галуа $G_{\pi\cdot r}/G_r$, которая, естественно, является подгруппой $N_G(G_r)/G_r$ где $N_G(G_r)$ нормализатор $G_r$ в $G$.
В частности, например, если $G$ просто и $G \ne G_r$ тогда $R$ не могут быть связаны, поэтому, например, $B$ не может быть обильным (по комментариям Реми).
Мне также было бы очень интересно, если бы можно было что-то сказать по этому поводу.