Описывает ли это разнообразие левые моноиды?

Question

В этом вопросе я определил следующее разнообразие.

Позволять $(S, \cdot, e)$ быть таким, чтобы $(S, \cdot)$ полугруппа, $e$ является бинарной операцией, и пусть тождества $e(x, y)x \approx x$, $e(x, y)\approx e(y, x)$держать. Назовем структуру, удовлетворяющую этим требованиям, двойным левым моноидом, или dlm.

Видно, что если $(S, \cdot)$ левый моноид с левой единицей $f$, затем установив $e(x, y)\equiv f$ получаем dlm.

Если $(S, \cdot, e)$, как полугруппа, не является левым моноидом, то она не может быть правым моноидом. Очевидно, что если$f$ были правильной идентичностью, тогда $e(x, f)f = f = e(x, f)$ для всех $x$, и другие $fx = x$ для всех $x$, так что это будет моноид.

Обязательно ли любой dlm левый моноид после преобразования $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$ который забывает об операции $e$?

Answer 1

Ответ отрицательный, как показывает полугруппа $(\Bbb{Z}, \min)$ с участием $e(x,y) = \max(x,y)$.