Определение связности и ее интуиции
Мы говорим топологическое пространство $X$быть связным, если его нельзя записать как несвязное объединение двух непустых открытых подмножеств. Интуитивно связность означает, что наше топологическое пространство представляет собой единое целое. Я не могу понять, как это определение улавливает интуицию. Пожалуйста помоги.
Ответы
Если конечно любое пространство $X$ имея две или более точек, можно записать как $A \cup B$, с участием $A,B$непересекающиеся и непустые во многих отношениях. Но быть отключенным означает, что есть способ сделать это так, что нет смысла$A$ "близко к" $B$ и нет смысла $B$ "близко к" $A$. Близость к в топологии формализуется нахождением в замыкании. Так назовите пространство$X$ отключен, когда мы можем записать его как $A \cup B$, оба множества непустые и такие, что $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (нет смысла $B$ близко к $A$) и $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (нет смысла $A$ близко к $B$). Но это означает, что$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ так, в частности $A=\overline{A}$ и $A$закрыто. Симметрично,$B$ тоже закрывается, и как $A$ и $B$ дополняют друг друга, $A$ и $B$ тоже открыты (что вы также могли видеть следующим образом, например, если $x \in A$ не были внутренней точкой $A$, каждый район $x$ будет содержать не-$A$ точки, поэтому точки $B$, так как $A\cup B=X$. И если в каждом районе$x$ пересекает $B$, $x \in \overline{B}$, но мы не предполагали смысла $x$ из $A$ был близок к $B$...)
Итак, мы приходим к определению вопроса, называя пространство, которое не разъединено в этом смысле, «связанным». Фактически это эквивалентно заданию в определении несвязности одновременно открытых частей, одновременно закрытых частей или «отдельных» частей (как первое определение).
Если какой-то связанный набор разрезать на две части, то в месте разреза одна из двух частей будет «открытой», а другая - «закрытой». Например, если вы разрежете реальную линию на две части в точке$a\in\mathbb R$, вы получите либо две штуки $(-\infty,a],(a,\infty)$, или $(-\infty,a),[a,\infty)$. По крайней мере, один из них имеет замкнутую границу на$a$. Точки, принадлежащие разрезу, должны быть включены в одну из двух частей, и эта часть будет иметь точку разреза в качестве граничной точки. То же самое и для более сложных пространств: линия, по которой мы разрезаем, должна быть распределена между двумя частями, давая им границу, делая их закрытыми.
Конечно, нам не нужно резать по линии / плоскости / чему угодно, но это тот случай, когда интуиция яснее всего.