Определите, если $f(x)=x^2$ равномерно непрерывна в данной области.

Aug 18 2020

Определите, является ли следующая функция равномерно непрерывной в данной области.

$f(x)=x^2 , \quad \text{in}\quad [0,\infty], [0,1]$

Моя попытка:

Для домена $[0,\infty]$. Позволять$(x_n)=n, (y_n)= n +\frac{1}{2n}$

потом $|n-n-\frac{1}{2n}|=\frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Но, $|(n)^2-(n+\frac{1}{2})^2| = 1 + \frac{1}{(2n)^2} \geq 1 = \epsilon _0$

потом $f(x)=x²$ не является равномерно непрерывным в области $[0,\infty]$

Для домена $[0,1]$. Позволять$(x_n)=\frac{1+n}{n}, (y_n)= \frac{1+2n}{2n}$

потом $|\frac{1+n}{n}-\frac{1+2n}{2n}| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Но, $|(\frac{1+n}{n})^2-(\frac{1+2n}{2n})^2|=\frac{1}{n} + \frac{3}{4n^2} \geq 1 = \epsilon _0$

потом $f(x)=x²$ не является равномерно непрерывным в области $[0,1]$

Я не уверен, что мой метод верен. Любые предложения были бы замечательными!

Ответы

2 TheSilverDoe Aug 18 2020 at 04:35

Другой способ увидеть, что функция равномерно непрерывна на $[0,1]$ без использования теоремы Гейне является доказательство выполнения определения равномерной непрерывности.

Действительно, пусть $\varepsilon > 0$. Позволять$\eta = \varepsilon/2$. Для всех$x,y \in [0,1]$ такой, что $|x-y|<\eta$, у тебя есть $$|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| \leq 2\eta = \varepsilon$$

Так что определение устраивает.

1 Vercassivelaunos Aug 18 2020 at 04:02

Ваш метод для домена $[0,\infty)$правильный, и ваш результат тоже правильный. Но для домена$[0,1]$, это не работает, так как вы выбрали $x_n,y_n$не в домене. Вместо этого вы можете использовать тот факт, что непрерывные функции на компактных областях равномерно непрерывны.

1 inavda Aug 18 2020 at 04:01

Это определенно равномерно непрерывно на $[0,1]$. В общем, непрерывная функция всегда будет равномерно непрерывной на компакте (как @Bungo указал в комментариях).

Для ответа на вопрос в комментариях:

Например, для любого $\varepsilon$, если мы просто возьмем $\delta=\frac{100}{4 \times 99} \varepsilon$, у нас есть $$f\left(x+ \frac{99}{100} \delta\right) - f(x) \\ = f(x + \varepsilon/4) - f(x) \\ = x^2 + x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 - x^2 \\ = x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/16 \\ < \varepsilon$$

PS Ответ @TheSilverDoe намного чище, поэтому я бы проверил его :)