Определите, если $ \intop_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ сходиться

Question

Я должен определить, если $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ сходятся / расходятся.

Моя интуиция подсказывает, что интеграл сходится, потому что $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x$ сходятся из теста Дирихле, поэтому добавление $ \frac{1}{x} $ не должно быть большой разницы для $ x\to\infty $.

Я думаю, правильный способ доказать это - показать, что $\displaystyle \int_{1}^{u}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x $ ограничен для любого $ u $, и тогда я мог бы использовать тест Дирихле. Я пробовал и не смог это доказать.

Также мне хотелось бы услышать, что вы думаете о моем доказательстве того, что интеграл $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x $ сходятся.

Я использовал тест сравнения пределов следующим образом:

$ \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\frac{|\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)|}{x^{0.5}}}{\frac{1}{x^{0.8}}}=0 $

и с тех пор $ 0.8 <1 $ интеграл $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.8}}\mathrm{d}x $ сходятся, поэтому интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{0.5}} \mathrm{d}x$ абсолютно сходятся.

Я буду признателен за помощь здесь. заранее спасибо

Answer 1

Начнем с формулы сложения углов:

$$\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin\left(x+{1\over x}\right)\,dx=\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx+\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\cos x\sin(1/x)\,dx$$

и заметим, что второй несобственный интеграл сходится, поскольку $\sin(1/x)\lt1/x$ (за $x\gt0$) и $\int_1^\infty{1\over x^{3/2}}\,dx$сходится. Остается показать, что первый несобственный интеграл также сходится.

Для этого используйте интеграцию по частям с $u=\cos(1/x)/\sqrt x$ и $dv=\sin x\,dx$, так что $du=(\sin(1/x)/x^{5/2}-\cos(1/x)/(2x^{3/2}))dx$ и $v=-\cos x$:

$$\begin{align} \int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx &={-\cos(1/x)\cos x\over\sqrt x}\Big|_1^\infty+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx\\ &=\cos^21+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx \end{align}$$

где два последних несобственных интеграла снова сходятся.

Что касается несобственного интеграла от $0$ к $1$, доказательство ОП в порядке, но более сложное, чем необходимо; достаточно отметить, что${|\sin(x+1/x)|\over\sqrt x}\le{1\over\sqrt x}$.

Answer 2

Вы можете просто позволить $x+\frac{1}{x}=z$ и получить $$ \int_{1}^{+\infty}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{2}^{+\infty}\sin(z)\underbrace{\frac{\sqrt{z+\sqrt{z^2-4}}}{\sqrt{2}\sqrt{z^2-4}}}_{g(z)}\,dz $$ где $g(z)$ ведет себя как $\frac{C}{\sqrt{z-2}}$ в правильном районе $z=2$ и она уменьшается $z>2$, поскольку $$ g(2\cosh t) = \frac{e^{t/2}}{e^t-e^{-t}}=\sum_{n\geq 0}\exp\left(-\left(2n+\frac{1}{2}\right)t\right)$$ явно уменьшается на $\mathbb{R}^+$. Следовательно, здесь можно применить лемму Дирихле.