Определите все комплексные числа, которые удовлетворяют условиям - $|z|=2$ $\space$ и $\space$ Я $(z^6)=8$ Я $(z^3)$

Question

Определите все комплексные числа $z$ которые удовлетворяют следующим условиям:

$|z|=2$ $\space$ и $\space$ Я$(z^6)=8$ Я$(z^3)$

Я сначала подсчитал $z^3$ и $z^6$.

$z^3=x^3-3xy^2+3x^2yi-y^3i$

$z^6=(x+yi)^6=\binom{6}{0}x^6+\binom{6}{1}x^5yi+\binom{6}{2}x^4(yi)^2+\binom{6}{3}x^3(yi)^3+\binom{6}{4}x^2(yi)^4+\binom{6}{5}x(yi)^5+\binom{6}{6}(yi)^6$

$=x^6+6x^5yi+15x^4(-y^2)+20x^3(-y^3i)+15x^2y^4+6xy^5i-y^6$

Затем я помещаю мнимые части в уравнение Im$(z^6)=8$ Я$(z^3)$ и получил следующие

$6x^5y-20x^3y^3+6xy^5=8(3x^2y-y^3)$

$2xy(x^2-3y^2)\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}=8y\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}$ (*)

$x(x^2-3y^2)=4$ $\space$ (1)

от $|z|=2$ следует $\sqrt{x^2+y^2}=2$ $\space$ $\rightarrow$ $y^2=4-x^2$ (2)

после помещения (2) в (1) я получил

$x^3-3x=1$

а потом $x=2\cos\varphi$

уравнение $8\cos^3\varphi-6\cos\varphi=1$ может быть преобразован в

$2\cos3\varphi=1$(Я получил это с помощью личности$\cos {3x}$)

а потом

$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$

$\varphi_2=-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$, $\space$ $k \in \mathbb{Z}$

Написано иначе решение

$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_2=\frac{5\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_3=\frac{7\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_4=\frac{11\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_5=\frac{13\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_6=\frac{17\pi}{9}+2k\pi$

В соответствии с (*) выражениями $3x^2-y^2$зачеркнуты. Мы должны включить это

$3x^2-y^2=0$

$3x^2-(4-x^2)=0$

$4x^2=4$

$x^2=1$

$(2\cos\varphi)^2=1$

$\cos^2\varphi=\frac{1}{4}$

После решения этого уравнения получаем

$\varphi_7=\frac{\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_8=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_9=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_{10}=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$

Решение из моего учебника:

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_1=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})}$.

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_2=2(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})}$.

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_3=2(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3})}$.

Может кто-нибудь помочь мне найти ошибку?

Если вы обнаружите ошибку, не стесняйтесь редактировать. На картинке ниже представлены все 10 решений.

Answer 1

Короче решить с экспоненциальной формой $z$: поскольку его модуль $2$, мы можем написать $\:z=2\,\mathrm e^{i\theta}$. и уравнение для мнимых частей принимает вид$\DeclareMathOperator{\im}{Im}$ $$\im(z^6)=\im\bigl(64\mathrm e^{6i\theta} \bigr)=64\sin 6\theta,\qquad \im(8z^3)=\im\bigl(64\mathrm e^{3i\theta}\bigr)=64\sin 3\theta$$ откуда это простое стандартное тригонометрическое уравнение $\;\sin 6\theta=\sin 3\theta$. Его решения$$ \begin{cases} 6\theta\equiv 3\theta \iff 3\theta\equiv 0\mod 2\pi\iff\theta\equiv 0\mod\frac{2\pi}3,\\ 6\theta\equiv \pi-3\theta \iff 9\theta\equiv \pi \mod 2\pi \iff \theta\equiv \frac\pi 9 \mod\frac{2\pi}9 . \end{cases} $$ Краткая форма решений в $\theta$ было бы $$\theta\in\Bigl\{\frac{k\pi}9\,\Bigm|\, k=0, \pm 1,\pm3,\pm 5,\pm 7, 9 \Bigr\}. $$

Answer 2

Без ограничения общности уравнения можно свести к виду $$|z|=1 ,\text{Im}(z^6)=\text{Im}(z^3)$$

Исходя из этого, мы можем сказать, что когда $z=\omega_i$ (где $\omega_i$ являются кубическими корнями из единицы), уравнения однозначно будут верными.

После этого используйте полиномиальные разложения для $z^6 $ и $z^3$ учитывая $z=x+i y$ который эффективно решает $$6xy^{5}\ -20x^{3}y^{3}+6x^{5}y=\left(3yx^{2}-y^{3}\right)$$ при условии, что $$x^2+y^2=1$$ который представляет собой единичный круг.

Вы можете получить доступ к следующему графику здесь

Пересечения черного графика с красным кружком и синими точками с отмеченными координатами являются необходимыми решениями.