Основной вопрос о гомотопии
Я начинаю читать книгу Ива Феликса, Стивена Гальперина, Ж.-К. «Теория рациональной гомотопии». У нас с Томасом быстрый вопрос о самом начале (который касается только базовой теории гомотопий в пространствах и даже не рациональной теории гомотопий). Книга доказывает результат, названный «леммой Уайтхеда о поднятии» как лемма 1.5 (стр. 12):
Предположим, что дана (не обязательно коммутативная) диаграмма: \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ varphi} & Y \\ \ \ downarrow i & & \ \ downarrow f \\ X & \ xrightarrow {\ psi} & Z , \ end {array} вместе с a с гомотопией$H: A \times I \rightarrow Z$ из $\psi i$ к $f\varphi$.
Предполагать $(X,A)$ относительный CW-комплекс и $f$является слабой гомотопической эквивалентностью. потом$\varphi$ а также $H$ можно продолжить соответственно до карты $\Phi: X \rightarrow Y$ и гомотопия $K: X \times I: \rightarrow Z$ из $\psi$ к $f \Phi$.
Затем книга продолжается некоторыми следствиями, и мой вопрос: как следующее утверждение является следствием леммы Уайтхеда о поднятии?
Если $(X, A)$ относительный CW-комплекс и $A$ имеет гомотопический тип CW-комплекса, то $X$ имеет гомотопический тип CW-комплекса.
Думаю, мне удалось бы доказать этот результат, построив CW-комплекс $\tilde{X}$ из $\tilde{A}$ (сложный эквивалент $A$) склейкой ячеек с помощью прикрепляющих карт из $(X, A)$, и используя результат сохранения эквивалентностей в выталкивании (как эта одна гомотопическая эквивалентность в выталкивающем квадрате с кофибрированием ) на каждом скелете, но я не вижу, как это использует лемму выше, и результат, который мне понадобится о выталкивании и эквивалентности я думаю, появится позже в книге.
Любое понимание приветствуется, ура!
Ответы
Позволять $A$ быть комплексом CW и $X$ получен из $A$индуктивно прикрепляя клетки. Писать$i:A\hookrightarrow X$ для включения.
Для начала позвольте $p:\widetilde X\rightarrow X$- приближение CW (также известное как сотовая модель, см. Th.1.4). С$A$ является CW комплексом слабая эквивалентность $p$ вызывает биекцию $p_*:[A,\widetilde X]\xrightarrow\cong[A,X]$(см. Co.1.6). Таким образом, есть карта$\widetilde i:A\rightarrow\widetilde X$ вместе с гомотопией $H:p\widetilde i\simeq i$. Теперь рассмотрим диаграмму \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ widetilde i} & \ widetilde X \\ \ i \ downarrow & & \ \ downarrow p \\ X & \ xrightarrow {=} & X. \ end {array} Условия леммы 1.5 выполнены, поэтому существует отображение$\varphi:X\rightarrow\widetilde X$ такой, что $\varphi i=\widetilde i$ а также $p\varphi\simeq id_X$. Таким образом$X$ является (гомотопическим) ретрактом CW комплекса $\widetilde X$, откуда сразу следует, что $X$ имеет гомотопический тип CW.
Теперь последний факт верен в заявленной общности, но мы установим более точное утверждение для текущей ситуации: мы покажем, что $X$ гомотопически эквивалентен $\widetilde X$ как и ожидалось.
Для этого обратите внимание, что $p_*:[\widetilde X,\widetilde X]\rightarrow [\widetilde X,X]$ берет $\varphi p$ к $p(\varphi p)=(p\varphi)p\simeq p$. Но потому что$p$ является слабой эквивалентностью, индуцированное отображение биективно, поэтому уравнение $p_*(\varphi p)=p_*(id_{\widetilde X})$ подразумевает, что $\varphi p\simeq id_{\widetilde X}$. Таким образом, у нас есть претензия.