относительно лимита: требуется подробное объяснение

Aug 17 2020

У нас есть, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$

И это нормально, но я не совсем уверен $p\in \mathbb{R}$, у меня вопрос, верно ли это для $p\in \mathbb{R}$?

Я попытался вычислить значение этого лимита в онлайн-калькуляторе Symbolab, поставив $p =some$ $fraction$ $number$, но это показывает $0$как ответ. Скриншот этого кейса прилагается.

И

Может ли кто-нибудь предоставить мне подход или даже намек, чтобы доказать или опровергнуть указанную цифру?

Заранее спасибо!

Ответы

1 Bernard Aug 17 2020 at 21:46

Верно для любого $p> -1$. На самом деле это сумма Римана:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ для функции $f(x)=x^p$, с ограничениями $0$ и $1$, поэтому сходится к $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$

1 user Aug 17 2020 at 21:39

ПОДСКАЗКА

Используем Штольца-Чезаро для получения

$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$