Перестановочны ли элементы двух абелевых нормальных подгрупп?

Question

Так $H$ и $K$нормальные абелевы подгруппы некоторой группы. Это правда для всех$h \in H$ и для всех $k \in K$ тот $hk=kh$? Я не думаю, что это утверждение справедливо, но я не могу найти (довольно простой) контрпример.

Answer 1

Позволять $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ быть кватернионной группой порядка $8$. Рассматривать$H=\{\pm1,\pm i\}$ и $K=\{\pm1,\pm j\}$.

Answer 2

Самый простой контрпример - диэдральная группа $D_8$, скажем, созданный $a$ порядка $4$ и $b$ порядка $2$. Каждый элемент$D_8$ лежит в нормальной подгруппе порядка $4$: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$ и $\{1,a^2,ab,a^3b\}$. Все они, конечно, абелевы, поскольку в них порядок$4$. Если ваше заявление состоялось, то$D_8$ поэтому было бы абелевым, что, конечно, не так.

Пример $Q_8$из двух других ответов, конечно, совершенно верно. Фактически, если$G$ любая неабелева группа порядка $p^3$ то каждый элемент лежит в подгруппе порядка $p^2$ (которая обязательно абелева и нормальна), и поэтому любая неабелева группа порядка $p^3$ это контрпример.

Answer 3

Любая гамильтонова группа по определению даст вам контрпример, поскольку любая циклическая подгруппа абелева и нормальна, но вы можете найти две циклические подгруппы с генераторами, которые не коммутируют.

Самый маленький из таких примеров - группа кватернионов $Q_8$.