Плотность Бореля установлена ​​на 0

Question

Теорема плотности Лебега утверждает, что если $E$ измеримое по Лебегу множество, то плотность $E$ почти в каждом элементе $E$ равна 1, а плотность $E$ почти в каждом элементе не в $E$ равно 0.

Однако правда ли, что для каждого $t$ строго между 0 и 1 существует борелевское множество $E$ что имеет плотность $t$ при 0?

Понятия не имею, как построить такой набор для случайного значения $t$. Любая помощь будет оценена.

Answer 1

Да. В измерении$\geq 2$ это тривиально, поэтому я предполагаю, что мы смотрим на реальную линию.

Учитывая $n>0$ и $\alpha\in [0,1]$, положил $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ и $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.

Положил $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. Тогда плотность$U_{n,\alpha}$ в $0$ точно $\alpha$. Чтобы в этом убедиться, напишите$m_r$ за $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ и обратите внимание, что:

• если $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, тогда $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• если $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, тогда $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
• $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.

Answer 2

Подсказка: пусть $I_n=(1/(n+1),1/n).$ Позволять $L_n$ быть длиной $I_n.$ Снаружи $I_n$ мы выбираем подынтервал

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ это "$t$-укус » $I_n.$ Набор $E=\cup J_n.$ Если я правильно об этом думаю, у нас будет

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

Answer 3

Рассмотрим последовательность чисел $r_n \searrow 0$ такой, что $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. Позволять$\theta$ быть мерой сохраняющей карту от $(0,r_1]$ к $\mathbb R^2$ это требует $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ к $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. Тогда пусть$A$ быть «кусочком пирога» с центром в начале координат $\mathbb R^2$, с углом $\alpha$в углу. потом$\theta^{-1}(A)$ будет набор с плотностью $\alpha/(4\pi)$ в $0$.

Это даст плотности $0 \le t \le \frac12$. Получить$\frac12 < t \le 1$просто добавьте $(-\infty,0]$.