Пояснение к каждому сепарабельному метрическому пространству имеет счетную базу
Докажите, что каждое сепарабельное метрическое пространство (скажем, X) имеет счетную базу. (Подсказка: возьмите все окрестности с рациональным радиусом и центром в некотором счетном плотном подмножестве X).
У меня вопрос: нужно ли брать рациональный радиус? Я имею в виду, поскольку дано, что X отделимо, поэтому у него есть счетное плотное множество. Для создания базы мы будем использовать указанное счетное плотное подмножество, и мы можем рассмотреть шар с центром из подмножества, поэтому нет. шаров по-прежнему будет считаться. Не понимаю, зачем нам рациональный радиус. Пожалуйста, проясните это.
Ответы
Обращение только одного шара к каждой точке в плотном подмножестве не даст основы. Если бы вы позволили радиусу быть произвольным, то вообще было бы несчетное количество районов. Если взять шары рационального радиуса, получится счетная база. Вы можете использовать любой счетный набор ненулевых радиусов при условии, что для каждого$\epsilon > 0$, вы включаете шар с радиусом меньше чем $\epsilon$. Например, вы можете просто взять шары с радиусом,$1/n$ за $n = 1, 2, \ldots$.