Пояснение к выводу формулы суммы арифметической последовательности первых n членов

Aug 16 2020

Я пытаюсь понять вывод формулы суммы арифметической последовательности первых $n$ сроки.

Я не понимаю, какие правила или рассуждения позволяют добавлять две последовательности в обратном порядке, чтобы устранить общую разницу. $d$ и приходим к выводу, что сумма арифметической последовательности первых $n$ сроки - половина $n$умноженная на сумму первого и последнего членов. Это кажется надуманным способом устранить общее отличие от расширенного, основанное на необъяснимых знаниях$d$ и арифметические последовательности в целом.

Я исследовал этот вопрос в учебниках по математике и в Интернете, и каждый раз, когда представляется вывод, я не могу найти объяснения, почему математику было бы очевидно, что, добавляя последовательности, они получат формулу.

Фон.

Вывод формулы, описанный во многих учебниках и на интернет-сайтах, выглядит следующим образом.

  1. Чтобы найти сумму арифметической последовательности для первого $n$ сроки $S_n$, можно записать сумму по первому члену $a_1$ и общая разница $d$.

$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + ... + a_n $$

  1. Также возможно записать последовательность в обратном порядке по отношению к последнему члену $a_n$.

$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + ... + a_1 $$

  1. Когда мы складываем эти последовательности вместе, мы получаем формулу для суммы первых n членов арифметической последовательности.

$$ \begin{array}{r} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \end{array} $$

  1. Потому что есть $n$ много дополнений $(a_1 + a_n)$ длинная сумма упрощается как $n(a_1 + a_n)$ и решение для $S_n$ мы приходим к формуле.

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

К сожалению, я не могу найти аргументацию ни в одном из этих объяснений относительно того, почему были добавлены две последовательности (обычный порядок и обратный). Мне кажется логичным, что они были добавлены, но не потому, что это был следующий логический шаг при выводе формулы.

Вопрос.

Почему две последовательности были добавлены для получения формулы и что это говорит о природе арифметических последовательностей?

Пытаясь разобраться в этом, я заметил, что, изучая множество последовательностей, мы можем увидеть, что отношение суммы последовательности для первого $n$ сроки $S_n$ и сумма первого и последнего слагаемых $(a_1 + a_n)$ всегда $\frac{n}{2}$для любой арифметической последовательности. Так что, возможно, по индукции можно было бы сказать, что если для любой арифметической последовательности верно, что:

$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$

Тогда также должно быть верно то, что:

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

Однако для меня это все еще не объясняет, почему производная решает добавить две последовательности.

Ответы

2 RossMillikan Aug 16 2020 at 09:18

Коммутативность сложения позволяет переставлять сумму двух слагаемых. Индукцией по количеству слагаемых можно расширить это число до любого конечного числа слагаемых. Затем ассоциативность позволяет вам группировать их, как вы хотите.

Mars Aug 16 2020 at 09:14

Вспомните сумму чисел треугольника. Чтобы сложить первые n чисел, вы берете первое и последнее и объединяете их, чтобы получить n + 1, затем вы делаете то же самое для второго и предпоследнего, чтобы получить n + 1. Чтобы наглядно увидеть этот процесс, посмотрите наhttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number. Здесь, в вашем вопросе, ваш треугольник немного однобок и не доходит до сути, но идея остается той же :).