Почему можно деформировать контур в интегральном выражении пропагатора Клейна-Гордона, чтобы получить евклидов пропагатор?
Я пытаюсь понять использование евклидовых корреляционных функций в QFT. Я попытался выяснить, как они проявляются, на простейшем примере, который я мог придумать: двухточечном пропагаторе для уравнения Клейна-Гордона. В.П. Наир (pdf стр. 57-58) начинает с пропагатора Фейнмана для уравнения Клейна Гордона,
$$ G(x,y) = \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-\infty}^\infty dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2+i\epsilon}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}.\tag{4.13} $$
Затем он утверждает, что можно деформировать контур так, чтобы $k_0$ интеграл идет вверх по мнимой оси, чтобы получить
$$ G(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})},\tag{4.17} $$
в этот момент вы меняете переменные, чтобы получить желаемую взаимосвязь между пропагаторами Минковского и Евклидова. Наир говорит, что «в этой деформации нет пересечения полюсов подынтегрального выражения», и я вижу это: вы деформируете контур через верхний правый и нижний левый квадранты комплексной плоскости, поэтому избегайте полюсов. Моя проблема в том, что насчет контуров четверти круга на бесконечности ? Вы должны оставить конечные точки фиксированными, когда вы деформируете контур, чтобы получить$k_0$Чтобы пройти по воображаемой линии, мы должны иметь контур, соединяющий концы воображаемой линии с реальной, которая исчезает. Но, разумеется, этого не может быть как в верхнем правом, так и в нижнем левом контурах, поскольку подынтегральная функция имеет множитель$\propto \exp\left(\text{Im}\{k_0\} x_0\right)$, которые в зависимости от знака $x_0$будет расходиться в любой большой положительной мнимой$k_0$ или большой отрицательный воображаемый $k_0$?
Есть несколько иной способ решения той же проблемы. Наир приходит к соотношению
$$ G(x,y) = G_E(x,y)|_{x^4=-ix^0,y^4=-iy^0},\tag{4.18} $$
где евклидов пропагатор определен
$$ G_E(x,y) = \int_{\mathbb{R}^4} d^4k\; \frac{1}{\sum_{j=1}^4(k_j)^2+m^2}e^{i\sum_{j=1}^4k_j(x_j-y_j)}.\tag{4.19} $$
Проблема здесь в том, что если вы поместите мнимые значения $x_4-y_4$ в определяющий интеграл, то вы получите экспоненциальное расхождение в $k_4$ интеграл, поэтому результат плохо определен.
Так что здесь происходит? Я упускаю что-то очевидное или Наир грубо махает рукой? И, если последнее, не могли бы вы указать мне направление рассмотрения взаимосвязи между корреляционными функциями Евклида и Минковского, которое не является таким математически техническим, как статья Остервальдера и Шредера ? (Это все, что мне удалось найти в другом месте!) Когда я попытался найти отношение в более сложных и общих случаях - например, глядя на функцию распределения, выраженную в виде интеграла по пути, - я думаю, что наткнулся на по более или менее той же проблеме, об этом расхождении экспоненциального множителя, поэтому я чувствую, что если я получу отсортированный вывод пропагатора KG, то все остальное должно встать на свои места.
Ответы
Возможно, это немного неясно из-за того, как Наир написал это, но важно, чтобы вы сделали обе замены$k_0=ik_4$ и $x^0=ix^4$одновременно. При этом сохраняются свойства сходимости исходного интеграла.
Обратите внимание, что в соглашении Наира есть дополнительный знак, потому что он переходит от временных величин к пространственно-подобным величинам, которые затем получают другой знак в векторном умножении. $k\cdot x$. Вместо этого вы могли бы сделать$k_0\to ik_0$ и $x^0\to -ix^0$, оставив их как временные величины. Если вы сделаете это таким образом, ясно, что вы просто назначаете$k_0$ и $x^0$равные, но противоположные фазы. А не полный$\pi/2$, вы могли использовать любую фазу $k_0\to e^{i\theta}k_0$ и $x^0\to e^{-i\theta}x^0$ и ясно, что товар $k_0 x^0$ без изменений.
Я не знаю, охватывает ли это Наир, но это добавление мнимой части к временной координате имеет физическое значение в теории возмущений. Он вводит неунитарную эволюцию, поскольку оператор эволюции$e^{-i\hat H x^0}$ больше не унитарен, если $x^0$имеет мнимую часть. Эта неунитарная эволюция позволяет вам автоматически проецировать взаимодействующий вакуум из свободного вакуума, тем самым позволяя вам создавать пертурбативные приближения для величин в теории взаимодействия, используя компоненты свободной теории. Я не буду пытаться описывать подробности в этом ответе, но об этом рассказывается в Peskin & Schroder Ch.4, в частности на страницах 86-87 и 95.
Ответ пользователя kaylimekay совершенно правильный, что внутренний продукт $k_{\mu} x^{\mu}$в принципе должен оставаться инвариантным относительно вращения Вика , ср. например, мои ответы Phys.SE здесь , здесь и здесь .
К сожалению, правило трансформации $x^0=ix^4$ в (1) противоположно стандартному преобразованию Вика $x^4=ix^0$, ср. например, это сообщение Phys.SE.
Дело усложняется тем, что Ref. 1 использует$(+,-,-,-)$Минковский подписывает конвенцию, ср. мой ответ Phys.SE здесь .
Использованная литература:
- ВП Наир QFT: Современная перспектива , 2004 г .; глава 4, с. 43-46, ур. (4.13-19).
Способ, которым $G(x,y)$ готов к использованию для комплексных чисел $x_0,y_0$ заключается в использовании обратного преобразования Лапласа (вместо обратного преобразования Фурье) $$ G_E(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-k_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$ где показательная часть содержит $-k_0(x_0-y_0)$как видно в преобразовании Лапласа. Таким образом, не должно быть серьезных расхождений. На самом деле интеграл всегда можно сдвинуть в обратном преобразовании Лапласа$\int_{\tau-i\infty}^{\tau-i\infty}.$ Вероятно, это все равно, что сказать: давайте воспользуемся ядром Кляйн-Гордона и посмотрим, что мы сможем найти.
Получается, что замена $k_0\leftarrow -ik_0$ в приведенном выше уравнении дает $$ G_E(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{1}{k_0^2+\textbf{k}^2+m^2}e^{ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$который является евклидовым пропагатором. Это, по крайней мере, то, что я чувствую, как должно было быть выполнено вращение Вика.