Почему не было объединения аксиом топологии и аксиом теории меры?
Связанная тема здесь .
Аксиомы топологического пространства и пространства меры с самого начала кажутся очень похожими. Они различаются аксиомами замыкания объединений и пересечений. Странное сходство между метрикой и мерой заставляет меня задаться вопросом, почему эти аксиомы были определены отдельно. Не могли бы они развить теорию только с концепцией меры и пространства меры?
Единственная проблема, которую я вижу, заключается в том, что это может создать круговую логику. Если нам нужны аксиомы топологического пространства для разработки концепций теории меры, это причина, по которой нам нужно разделить эти два понятия. Замыкание произвольных объединений по сравнению со счетными объединениями и конечных пересечений по сравнению со счетными пересечениями - это не то, что я хотел бы видеть как единственное различие между двумя концепциями. Зачем нужны две отдельные системы, если они, по крайней мере с самого начала, очень похожи друг на друга?
Ответы
Топологии и $\sigma$-алгебры созданы для разных целей. $\sigma$-алгебры предназначены для удобной игры с мерами, которые представляют собой обобщенный вид карты измерения объема. Топологии разработаны с учетом понятия «близость»: когда точка$x$ близко к набору $S$? Если все открытые окрестности$x$ пересекает $S$. Когда последовательность становится произвольно близкой к$x$? Если все открытые окрестности$x$содержит точки в последовательности. Вроде того. Поэтому неудивительно, что вначале топологии и$\sigma$-алгебры разные.
Но! Если мы подумаем об этом еще немного, то мы можем интуитивно обнаружить, что открытые окрестности точки - это те, которые имеют определенный объем. Например, если я поставлю открытый мяч$x$, Могу сказать, что у него ненулевой объем. И$\sigma$-алгебры предназначены для измерения объема. Так что не следует каким-то образом превращать все открытые наборы в$\sigma$-алгебра? В конце концов, может пригодиться присвоение громкости таким наборам. И ответ - да, в этом есть смысл. Нам бы очень хотелось, чтобы мы могли назначать объем открытым сетам. Например, это позволит непрерывным функциям хорошо сочетаться с объемом, поскольку непрерывные функции хорошо сочетаются с открытыми наборами. Вот почему мы определяем Borel$\sigma$-алгебра : задано топологическое пространство$(X,\tau)$, определим борелевский $\sigma$-алгебра на $X$ в виде $\mathcal B(X):=\sigma(\tau)$, то есть самый маленький $\sigma$-алгебра, содержащая все открытые подмножества $X$, поэтому все подмножества, которые должны иметь объем. В настоящее время$(X,\mathcal B(X))$ измеримое пространство, на котором мы могли бы определить меру $\mu$присвоить объем каждому открытому набору, если мы так склонны. Этот подход часто используется, например, для определения меры Лебега. Берем каждый открытый набор$\mathbb R^n$и присваиваем ему объем, который он должен интуитивно иметь, а затем мы берем все другие множества, которые мы могли бы получить, объединяя и пересекая их, и назначаем им объем, который соответствует определению меры. (Существует «лучший» подход с использованием внешних мер, который дает больше измеримых множеств, но этот проще.)
Но Борель $\sigma$-алгебра - это только одна конкретная $\sigma$-алгебра нам может понадобиться. Для других приложений другие могут работать лучше, особенно если нас на самом деле не волнует чувство близости к базовому набору. Тогда нам не нужна топология, так зачем ограничивать наши$\sigma$-алгебра с топологией?