Почему нельзя получить непрерывную инъективную функцию из $\mathbb R$ на $[-1, 1]$ есть прерывистая инверсия?

Aug 19 2020

Здесь @Ian говорит, что есть особое свойство$\mathbb R$ и интервалы, которые не позволяют гипотетической непрерывной инъективной функции $\mathbb R$ на $[-1, 1]$от наличия прерывистой инверсии. Что это за свойство?

Ответы

2 mathcounterexamples.net Aug 19 2020 at 21:03

Непрерывное инъективное отображение $f$между двумя действительными интервалами однообразно. Если$f$ также на, прямой образ любого открытого интервала является открытым интервалом (для индуцированной топологии на $[-1,1]$).

Следовательно, прообраз любого открытого интервала при $f^{-1}$открыт. Доказывая, что$f^{-1}$ непрерывно.

1 TsemoAristide Aug 19 2020 at 20:57

Такие $f$не может существовать. Рассматривать$f(x)=1$, позволять $a<x<b$, предположим $f(a)<f(b)$, $f([a,x])$ является интервалом, так как образ связного множества непрерывной картой связен, он содержит $f(a)$ и $f(x)=1$, поскольку $f(a)<f(b)<1$, это содержит $f(b)$. Существует$c\in [a,x]$ такой, что $f(x)=f(b)$. противоречие.

Если $f(b)<f(a)$, $f([b,x])$ это интервал, который он содержит $f(a)$ противоречие.