Почему нет поля с одним элементом? [дубликат]

Question

Этот вопрос здесь был задан, но отмечен как ответ, и я не думаю, что на этот вопрос когда-либо был дан ответ или, по крайней мере, мне он был непонятен.

Я не понимаю, почему набор, состоящий только из элемента $\{0\}$ наряду с обычным $+$ и $×$ не удовлетворяет критериям, так как $0$ действует как аддитивная и мультипликативная идентичность.

То есть позволяя $G = \{0\}$, тогда

• $∀ g ∈ G, 0+g = g$ и

• $∀ g ∈ G, 0·g = g$ (Поскольку $0·0 = 0$ )

Точно так же он является и собственным аддитивным, и мультипликативным обратным. В чем проблема только на уровне поля, не желая, чтобы она удовлетворяла некоторым дополнительным свойствам теории категорий или алгебраической / арифметической геометрии?

Answer 1

Итак, рассмотрим: $(F,+,\cdot,0,1)$ это поле, если

• $(F,+,0)$ абелева группа
• $(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$ абелева группа

Что будет, если $0 = 1$ и $F$синглтон, содержащий этот элемент? Тогда последняя характеристика не выполняется, так как$F \setminus \{ 0 \} = \varnothing$однако по предположению все группы непусты. (А именно, аксиомы группы подразумевают наличие в ней элемента, тождественного элемента, поэтому группа всегда непуста.)

Answer 2

Позволять $K := \{0\}$. потом$K \setminus \{0\}$ не может быть мультипликативной группой, поскольку в ней нет элемента идентичности.