Почему QED перенормируем?
Мое понимание перенормируемости состоит в том, что теория перенормируема, если расхождения в ее амплитудах можно сократить с помощью конечного числа членов. Я вижу это добавлением контртерма (в схеме MS-bar)
$$L_{ct}=-\frac{g^2}{12\pi^2}\left(\frac{2}{\epsilon}-\gamma+\ln4\pi\right),$$
однопетлевую расходимость КЭД можно сделать конечной. Однако я не понимаю, как это делает КЭД перенормируемой? Конечно, когда мы работаем с диаграммами с большим количеством циклов, мы получим больше контрчленов - учитывая, что у нас могут быть диаграммы с произвольным количеством циклов, разве нам не нужно бесконечное количество контрчленов, чтобы отменить их?
Ответы
КЭД имеет лишь конечное число неприводимых расходящихся диаграмм. Основным понятием расхождения диаграммы является подсчет мощности: термин, который представляет каждая диаграмма, имеет форму дроби, например$$ \frac{\int\mathrm{d}^n p_1\dots\int\mathrm{d}^n p_m}{p_1^{i_1}\dots p_k^{i_k}}$$ и вы можете вычислить разницу между силой импульса в числителе и знаменателе и назвать ее $D$. Эвристически диаграмма расходится как$\Lambda^D$ в масштабе импульса $\Lambda$ если $D > 0$, нравиться $\ln(\Lambda)$ если $D=0$, и конечно, если $D < 0$. Это может не получиться - диаграмма может расходиться для$D < 0$ - если он содержит меньшую расходящуюся поддиаграмму.
Если проработать общую структуру $D$Что касается диаграмм КЭД, вы должны суметь убедить себя, что КЭД имеет только конечное число расходящихся одночастичных неприводимых диаграмм. То, что отмены неприводимых диаграмм достаточно, чтобы итеративно устранить расходимости во всех диаграммах более высокого порядка, содержащих их в произвольных комбинациях для всех порядков, является нетривиальным утверждением, которое иногда называют теоремой BPHZ, технический смысл которой - хотя и не этим именем - объясняется по статье Scholarpedia на BPHZ перенормировки .
Мы получаем бесконечное количество контрчленов, но все они будут в одной и той же форме (или в замкнутом наборе), просто коэффициенты перед членом будут разложены в ряд по степеням константы связи. То, что это означает «бесконечное число контрчленов -> неперенормируемый», по крайней мере, в моем понимании, похоже на теорию phi ^ 5. Нам нужно будет добавить бесконечное количество контрчленов, таких как phi ^ 6, phi ^ 7, phi ^ 8, ..., чтобы отменить расхождение, и это будет продолжаться вечно. Это отличается от QED тем, что нам просто нужно конечное число контрчленов, но коэффициенты перед ними определяются по порядку.