Почему тот факт, что мы можем навязать гипотезу континуума, напрямую не доказывает гипотезу континуума?
Я читаю книгу Ника Уивера « Форсирование для математиков», и в главе 12 («Форсирование СН») он начинает с этого (стр. 45 - 46):
(Здесь все соотносится с $M$ - который в его книге является моделью ZFC).
Позволять $P_1$ - множество всех частичных функций из $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ к $\aleph_1$ (что является понятием принуждения) и пусть $G$ быть общим идеалом $P_1$. Поскольку элементы$G$ - функции, которые должны быть согласованными (поскольку $G$ является идеалом) вы можете взять их объединение, чтобы построить функцию $\tilde{f}$ из подмножества $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ к подмножеству $\aleph_1$.
Затем он доказывает, что:
- $\tilde{f}$ является биекцией (а не просто функцией) из подмножества $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ к подмножеству $\aleph_1$ поскольку исправление последовательных биекций вместе дает вам взаимное соответствие.
- Область $\tilde{f}$ все из $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ поскольку $G$ является универсальным.
- Диапазон $\tilde{f}$ все из $\aleph_1$ поскольку $G$ является универсальным.
Насколько я могу судить, для любой модели $M$ ZFC (т. е. любого множества, для которого выполняется ZFC), существует биекция из $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ к $\aleph_1$ и поэтому гипотеза континуума верна.
Я знаю, что он продолжает говорить о $M[G]$ но, насколько я могу судить, любой $M[G]$ это просто еще одна модель ZFC и вполне могла быть набором, который мы выбрали для $M$.
Ответы
Но биекция $\widetilde f$ не в $M$, в этом весь смысл. Он находится в$M[G]$. Вы показали, что для каждой модели$\sf ZFC$, есть более крупная модель, в которой $\sf CH$ правда.
Чтобы увидеть это действительно $\widetilde f\notin M$обратите внимание, что для любой функции$g\colon \mathcal P(\Bbb N)\to\omega_1$, существует плотный набор условий $p$ такой, что $p\nsubseteq g$. Поэтому по общности$\widetilde f\neq g$. Если$\widetilde f$ не равно какой-либо функции в $M$, то не может быть в $M$.
(Это, в более широком смысле, причина того, почему всякий раз, когда форсирование нетривиально, в наземной модели нет общих фильтров.)
Ключевым моментом здесь является то, что $G$ должен быть общим по $M$, и как следствие $G \not\in M$.
Как вы заметили, если вы можете сделать модель ZFC, содержащую $G$ и который согласен с $M$ о чем $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ и $\aleph_1$are, то в этой модели будет сохраняться CH. Принуждение говорит нам, как построить такую модель, и, следовательно, показывает нам, что данная модель$M$мы можем создать модель, в которой выполняется CH. Это позволяет нам показать относительную согласованность ZFC + CH, но не доказывает CH.
Позвольте мне добавить пару моментов к существующим ответам:
Во-первых, есть ключевой момент, который не упоминался в существующих ответах: важно отметить, что дженерики не всегда существуют . Нам гарантируется существование только тогда, когда$M$является счетно . Итак, заявление
Каждые $M\models\mathsf{ZFC}$ является подмоделью некоторых $N\models\mathsf{ZFC+CH}$
это не совсем верно - мы должны ограничиться счетным $M$с. Действительно, если$\mathsf{CH}$ ложно на самом деле то есть некоторые $M$ без конца, удовлетворяющий $\mathsf{CH}$: а именно любая модель, содержащая все реалы.
Пара сторонних комментариев:
"Каждый счетный $M\models\mathsf{ZFC}$ является подмоделью некоторой счетной $N\models\mathsf{ZFC+CH}$" Это правда - мы не нуждаемся в этих счетные моделях хорошо обоснованное Это не очевидно, но не трудно показать , и это хорошее упражнение в!„Работают все рекурсии внутри“.
Мы можем говорить о принудительном расширении произвольных моделей (и действительно$V$сам!) с помощью булевозначной модели принуждения. Таков, например, подход, применявшийся в Jech. Однако, хотя он увлекателен и важен, он, на мой взгляд, менее интуитивен, чем подход poset.
Во-вторых, из педагогической ценности позвольте мне привести пример, в котором важность $G\not\in M$ более очевиден, а именно крах Леви $Col(\omega,\omega_1)$.
$Col(\omega,\omega_1)$ это простейшая форсировка для приготовления $\omega_1$ счетный: он состоит из конечных частичных функций $\omega\rightarrow\omega_1$, заказанный обратным расширением, как и ожидалось. Поскольку для каждого$\alpha\in\omega_1$ набор $\{p: \alpha\in ran(p)\}$ плотный, общий $G$ (точнее, объединение условий в таком $G$) - сюръекция из $\omega$ к $\omega_1$.
Точнее, ограничившись счетными транзитивными моделями для простоты, мы имеем:
Если $M$ счетная транзитивная модель $\mathsf{ZFC}$ и $G$ является $Col(\omega,\omega_1^M)$-общий сверх $M$ тогда $M[G]\models\omega\equiv\omega_1^M$.
Но в отличие от $\mathsf{CH}$, очевидно, что у нас не может быть феномена "той же модели": нет $M\models\mathsf{ZFC}$ такой, что $M\models \omega\equiv\omega_1^M$. Итак, рассмотрение этого примера в первую очередь может помочь вам понять, почему сила не может означать истину в целом.
Наконец, позвольте мне закончить на положительной ноте. Несмотря на вышесказанное, бывают случаи, когда «сила» предложения подразумевает его абсолютную истинность:
Теорема Шенфилда об абсолютности утверждает, что истинность$\Pi^1_2$ предложения нельзя изменить с помощью принуждения, поэтому, если $G$ является общим по $M$ и $M[G]\models\varphi$ с участием $\varphi\in\Pi^1_2$ тогда $M\models\varphi$и наоборот (на самом деле Шенфилд говорит несколько больше, но м-м-м). Но это явление вообще редкое.
Для специальных моделей $\mathsf{ZFC}$мы можем получить более сильные результаты абсолютности. В частности, сильные большие кардинальные аксиомы предполагают большую степень абсолютности (например, если я правильно помню, если$M\models\mathsf{ZFC}$ + "Кардиналов Вудина бесконечно много", тогда все проективные предложения абсолютны между $M$ и его общие расширения).
Однако в целом абсолютность встречается довольно редко, и ее ни в коем случае нельзя принимать как должное.