Почему $x(t)$ не периодический, но $x[n]$ является?
Я изучал сигналы и системы и столкнулся с этой проблемой.
По определению, $x(t)$ обозначает непрерывный сигнал времени и $x[n]$ обозначает сигнал с дискретным временем.
$x(t)$ является периодическим, если существует постоянная $T>0$ такой, что $x(t) = x(t+T)$ для всех $t$ это подмножество действительных чисел.
$x[n]$ является периодическим, если существует постоянная $N>0$ такой, что $x[n] = x[n+N]$ для всех $n$ это подмножество целых чисел.
Потом я наткнулся на вопрос: почему $x(t)$ апериодический?
$x(t) = \cos((\pi t^2)/8)$
Я сделал следующее:
$x(t+T) = \cos((\pi(t+T)^2)/8$
Предполагать $x(t) = x(t+T)$
т.е. $(\pi t^2)/8 + 2\pi k = (\pi(t+T)^2)/8$
$\Rightarrow t^2 + 16k = (t+T)^2 \Rightarrow 16k = T^2 + 2tT $
Учитывая $k$целое число, разве это не периодично? Пожалуйста, дайте мне знать, если мой расчет неверен.
Приносим извинения, если я публикую неуместную тему, и благодарим за отзыв.
Ответы
Вы показали *:
Если $x(t)$ периодичен, то есть $T>0$ такой, что $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ целое число для каждого реального $t$.
* Изменить: как указал @SHW в комментариях, это не совсем так. Скорее должно быть
$x(t)$ периодичен тогда и только тогда, когда есть $T > 0$ так что хотя бы один из $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ или $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16}$ целое число для каждого реального $t.$
поскольку $T \neq 0$, должно быть достаточно очевидно, что будут некоторые $t$ так что ни одно из этих выражений не дает целого числа, показывая, что $x(t)$ не является периодическим.
Чтобы доказать это, заметим, что для каждого целого числа $k$, есть уникальный настоящий $t$ такой, что $\dfrac{T^2+2tT}{16} = k$ и не более двух действительных чисел $t$ такой, что $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16} = k.$ Так как целых чисел счетное количество, существует счетное множество $t$ так что хотя бы один из $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ или $\dfrac{T^2+2tT+2t^2}{16}$целое число. Поскольку существует несчетное количество реальных чисел, должно быть какое-то реальное$t$ так что ни одно из выражений не дает целого числа.
Как я уже упоминал выше, это показывает $x(t)$ не является периодическим.
С другой стороны, мы могли бы установить, например, $T=8$ чтобы увидеть это $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ целое число, когда $t$ целое число, показывающее $x[n]$ периодический.
Позволять $x(t) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$. Если$x(t)$ периодичен с $T$ тогда существует $T \gt 0$ такой, что $x(t) = x(t+T)$ для всех $t \in \mathbb{R}$. Итак, в этом случае мы имеем$$\cos(\frac{\pi (t+T)^2}{8}) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$$Если $t = 0$ тогда $\cos(\frac{\pi T^2}{8}) = 1$. Различая обе стороны, и пусть$t = 0$ у нас есть $$ T\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$$ Это означает $T = 0$ или $\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. Первый случай недопустим, поэтому мы заключаем, что$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. Если мы дифференцируем дважды и снова, пусть$t = 0$ тогда $$-\frac{\pi}{16} (4 \sin(\frac{\pi T^2}{8}) + \pi T^2 \cos(\frac{\pi T^2}{8})) = 0$$ Объединение результатов приводит к $T = 0$ что не разрешено в соответствии с $T \gt 0$. Мотивация использования дифференциации здесь заключается в том, что$\frac{d}{dt}\cos(u(t)) = -u'(t)\sin(u(t))$ что помогает нам получить $T$ из $\cos$функция и приходит к противоречию. Конечно, ответ Брайана намного элегантнее и не требует производных вычислений.