Почему замкнутое выпуклое множество содержит прямые тогда и только тогда, когда у него нет крайних точек? [дубликат]
Позволять $A\subset\mathbb R^n$быть замкнутым и выпуклым. Точки$x\in A$называется крайней точкой, если она не может быть представлена в виде нетривиальной выпуклой комбинации точек в$A$. Позволять$\operatorname{ext}A$ обозначим множество крайних точек $A$.
Я наткнулся на наблюдение, что "$A$содержит строки тогда и только тогда, когда у него нет крайних точек »(стр. 37, примечание 1, в Hug and Weil (2010) , pdf можно найти здесь ).
Я вижу это, если $A$ содержит строку $L$, то крайних точек быть не может. Действительно, при любом$x\notin L$, то (замкнутое) выпуклое замыкание $\{x\}\cup L$ должно быть равным всему между $L$ и прямая, параллельная $L$ пересекающийся $x$, и такой набор не имеет крайних точек. Геометрически это составляет следующую конструкцию:
$\qquad\qquad\qquad$

Однако я не уверен, что делать в другом направлении. Как мне доказать, что если$A$ не содержит линий, то должна быть хотя бы крайняя точка (или, что то же самое, отсутствие крайних точек означает, что хотя бы одна линия содержится в $A$)?
Ответы
$A$следует, конечно, считать непустым. Тогда мы можем использовать индукцию по размерности.
В $\mathbb{R}^1$, непустое замкнутое выпуклое множество $A$ который не содержит строки, имеет одну из форм $(-\infty, a]$, $[a, +\infty)$, или $[a,b]$ (с участием $a \leqslant b$), и для всех этих $a$ крайняя точка $A$.
Для шага индукции пусть $x \in A$ и рассмотрим произвольную линию $L$ проходя через $x$. поскольку$L \not\subset A$ есть смысл $y \in L\setminus A$. Позволять$s = \max \{ t \in [0,1] : x + t(y-x) \in A\}$ и $z = x + s(y-x)$. Тогда есть опорная гиперплоскость для$A$ проходя через $z$. Это дается$$ H = \{\xi : \langle \xi, \eta\rangle = \langle z, \eta\rangle\}$$ для некоторых $\eta \in \mathbb{R}^n$ с участием $\langle \eta, \eta\rangle = 1$. Без ограничения общности можно считать, что$\langle \xi, \eta\rangle \leqslant \langle z, \eta\rangle$ для всех $\xi \in A$.
Сейчас же $A_H = A \cap H$ замкнутое выпуклое множество на гиперплоскости $H$ (который мы можем идентифицировать с $\mathbb{R}^{n-1}$), не содержащий строки и непустой (для $z \in A_H$). По предположению индукции$A_H$имеет крайние точки. Но крайняя точка$A_H$ также крайняя точка $A$, если точка $p$ из $A_H$ представлен в виде выпуклой комбинации двух точек $A$, то обе эти точки должны лежать в $A_H$. Таким образом$A$ имеет крайние точки.
Вот небольшая переформулировка другого ответа .
Я хочу доказать, что замкнутая выпуклая непустая $A\subset\mathbb R^n$ который не содержит прямых, всегда содержит хотя бы крайние точки.
В $\mathbb R^1$ случай тривиален: единственно возможный $A$ - конечные отрезки или бесконечные отрезки вида $[a,\infty)$ и $(-\infty,a]$. Поэтому предположим, что утверждение верно для$A\subset\mathbb R^{n-1}$.
Позволять $x\in A$ - произвольная точка, и пусть $L$ быть какой-то линией, проходящей через $x$. Таким образом$x\in L$, и по гипотезе $L\not\subset A$. Тогда будет несколько$y\in L\setminus A$. Пусть тогда$z\in L\cap \operatorname{conv}(\{x,y\})$ быть элементом на границе $A$, позволять $H$ быть опорная гиперплоскость для $A$ проходя через $z$, и рассмотрим множество $A_H\equiv A\cap H$. Вот изображение этой конструкции в$\mathbb R^2$:

В этом простом случае $H$ должна быть линия и, следовательно, $A_H\subset\mathbb R^1$ содержит крайнюю точку по предположению индукции (в данном частном случае $A_H=\{z\}$). В более общем смысле,$A_H$ будет замкнутым, выпуклым, непустым подмножеством $\mathbb R^{n-1}$, а значит, содержат крайние точки.
Теперь осталось только доказать, что крайняя точка $A_H$ также крайняя точка для $A$. Другими словами, мы должны доказать, что если$p\in A_H$ тогда $p\notin \operatorname{conv}(A\setminus A_H)$. Для этого мы помним, что$A_H$ определяется как пересечение между $A$ и гиперплоскость, что означает наличие некоторого $\eta\in\mathbb R^n$ и $\alpha\in\mathbb R$ так что, определяя $f(\xi)\equiv \langle \eta,\xi\rangle$, у нас есть $f(\xi)\le \alpha$ для всех $\xi\in A$, и $f(\xi)=\alpha$ для всех $\xi\in A_H$.
Но тогда, если $p\in A_H$ были выпуклым сочетанием элементов $A$, $p=\sum_k \lambda_k a_k$ с участием $a_k\in A, \sum_k\lambda_k=1, \lambda_k\ge0$, тогда $$\sum_k \lambda_k f(a_k) = f(p)= \alpha,$$ что возможно только если $f(a_k)=\alpha$ для всех $k$, т.е. если$a_k\in A_H$.