Почти каждая линейная карта $V\rightarrow V$ (в некотором аффинном подпространстве таких отображений) обратима
Я пишу статью. Есть результат, к которому я хочу быть точным, но я не совсем уверен, как это сделать. Вот настройка:
У меня есть настоящее евклидово пространство $V$ который изоморфен $\mathbb{R}^n$. Рассмотрим множество всех линейных отображений$\operatorname{L}(V)$ от $V$ самому себе, которая изоморфна множеству $n\times n$ матрицы над $\mathbb{R}$. Это также реальное евклидово пространство и изоморфно$\mathbb{R}^{n^2}$. Наконец, пусть$A\subset\operatorname{L}(V)$- некоторое аффинное подпространство, не содержащее начала координат. (В моей статье это, по сути, аффинное пространство всех линейных отображений$f:V\rightarrow V$ удовлетворение $f^*(v)=v$ при некотором фиксированном выборе ненулевого вектора $v\in V$.)
Я хочу сказать следующее: « Почти все карты в$A$ обратимы (в том смысле, что относительно индуцированной меры Лебега на $A$, множество необратимых отображений имеет нулевую меру). "
Это, конечно, правда. Но мой соавтор не уверен, что это так тривиально, как я думаю, и хотел бы, чтобы мы предоставили «строгие» аргументы в пользу этого.
Мое рассуждение: мы можем рассмотреть $A$ как аффинное подпространство $\mathbb{R}^{n^2}$. Определитель$\operatorname{det}:\mathbb{R}^{n^2}\rightarrow\mathbb{R}$ является многочленом, и поэтому $\operatorname{det}$ либо постоянна на $A$ или набор нулей на $A$имеет нулевую меру. Желаемый результат следует из наблюдения, что линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля.
Это обоснованное рассуждение? Есть ли что-то доступное, что я мог бы здесь процитировать?
В стороне, я хотел упомянуть, откуда это взялось. В квантовой теории информации квантовый канал - это линейная карта$\Phi:M_m\rightarrow M_m$что полностью положительно и сохраняет следы. В частности, каждый квантовый канал также сохраняет эрмитово , поэтому мы можем рассматривать его как линейное отображение на множестве$m\times m$Эрмитовы матрицы, являющиеся реальным евклидовым пространством. Я хочу сказать следующее: почти все квантовые каналы обратимы как линейные карты. (Хотя обратное отображение обычно также не является каналом.)
Ответы
Вот один из способов сделать это в вашем случае. Вы смотрите на$A_v= \{ T\in L(V) : Tv=v \}$ где $v$- ненулевой вектор. Расширить$v$к основе. Тогда относительно этого базиса$T\in A_v$ если он имеет матрицу вида $$[T]= \begin{bmatrix} 1 & * \\ 0 &B\end{bmatrix}$$ где $B\in M_{n-1}(\mathbb R)$
Итак, вы определили $A_v \cong\mathbb R^{n^2-n}$ и $T\in A_v$ обратима тогда и только тогда, когда $\det B \neq 0$. Таким образом, это дополнение нулевого множества многочлена от$\mathbb R^{n^2-n}$ и, следовательно, имеет меру $0$.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Давайте посмотрим на вашу проблему в более общей структуре, где $V$ некоторое векторное пространство над бесконечным полем $k$ и вы задаете тот же вопрос. $L(V)=M_n(k)$имеет топологию Зарисского. Легко заметить, что$M_n(k)$неприводимо. Итак, любое непустое открытое множество плотно. Особенно$GL_n(k)=\{ T \in L(V) : \det(T)\neq 0 \}$- плотное открытое подмножество. поскольку$A \subset M_n(k)$является аффинным линейным подпространством, оно также неприводимо. Так что если$A\cap GL_n(k)$ непусто, то это плотное открытое подмножество $A$. Результатом является наличие одной обратимой карты, которая дает вам плотность обратимых карт в этом аффинном подпространстве.