Подход к физике с использованием обычного анализа, а не нестандартного анализа
Насколько мне известно, в физике к исчислению подходят нестандартные методы анализа, в которых $dx$, $dy$и т. д. (бесконечно малые) рассматриваются как фиксированные, чрезвычайно малые величины, а не как стандартный подход к анализу с использованием пределов, когда они рассматриваются как нечто, приближающееся к $0$.
Я понимаю, что нестандартный подход очень интуитивно понятен и понятен. Фактически, я занимался расчетом с помощью нестандартного подхода до тех пор, пока несколько дней назад не столкнулся с философскими вопросами, связанными с бесконечно малыми величинами. Я очень запутался из-за этого подхода, и когда я подошел к исчислению с использованием пределов, я почувствовал, что получил совершенно новый уровень понимания и концептуальной ясности.
Теперь в физике для функции $f$, $f'(x)$ или же $\dfrac{df}{dx}$ интерпретируется как скорость изменения $f(x)$ с очень небольшим изменением в $x$, т.е. $dx$. Это также интерпретируется как приблизительно наклон касательной к кривой$f$ в $(x,f(x))$. Этот подход и геометрическая интуиция также используются для вывода основной теоремы исчисления, которая утверждает, что если$F(a)$ дает площадь под кривой $f(x)$ из $x = 0$ к $x = a$, т.е. $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ Потом, $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ где : $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ Нестандартный подход также используется для вывода определенных формул, таких как формула работы, которая выводится следующим образом:
- Для бесконечно малого смещения $dx$, выполненная бесконечно малая работа, т.е. $dW$ является $F_2(x)\cdot dx$
- Общий объем выполненных работ, т.е. $W$, является $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ (Примечание: здесь $F_2(x)$ обозначает силу, испытываемую частицей в положении $(x)$. Например, если мы говорим об электростатической силе,$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$.)
Итак, в основном, большинство исчислений, используемых в физике, основывается на бесконечно малых и нестандартном анализе.
Но стандартный анализ кажется мне более строгим и имеет гораздо больше смысла. Я спросил нескольких друзей, которые спрашивали своих учителей, как можно использовать стандартный анализ в физике вместо нестандартного, но никто из учителей, похоже, не беспокоился.
Итак, я хотел бы знать, как я могу подойти к физике с помощью стандартного анализа.
PS: Я в настоящее время в 10 - й класс и только рассмотрел основы 11 - го класса еще. Был бы признателен за ответ, который я могу понять, не обладая обширными знаниями в области продвинутой математики.
Изменить: я очень благодарен за два ответа, которые я уже получил. Я безрассудно предположил, что нестандартный анализ и эвристическое использование бесконечно малых - это одно и то же, что не соответствует действительности , как указывали пользователи Qmechanic и PM 2Ring . Я хотел бы пояснить, что всякий раз, когда я использовал термин «нестандартный анализ», я на самом деле имел в виду лечение$dy$, $dx$и т. д. как действительные, очень небольшие количества и $\dfrac{dy}{dx}$ в соотношении ...
Ответы
Итак, в основном, большинство исчислений, используемых в физике, основано на бесконечно малых и нестандартном анализе.
Это предположение неверно. Хотя физические аргументы в пользу бесконечно малых величин могут напоминать типичные аргументы в «нестандартном анализе», элементарная физика обычно не работает на таких уровнях строгости, на которых вы могли бы четко решить, использует ли она нестандартный анализ или нет. Физика не интересуется фундаментальными вопросами анализа, и, например, производная функции является приближением ее наклона независимо от того, какой фундамент вы используете (в зависимости от вашего основания это может быть более или менее трудоемко, но все же всегда правда).
Если вы ищете строгости, часто существует одинаково верная интерпретация физических «бесконечно малых» в терминах стандартных дифференциальных форм , например$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ это просто определение 1-формы, называемой $\mathrm{d}W$, интеграл которого по путям $\gamma$ определяется как работа $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ по пути.
Нет разницы в строгости между NSA и стандартным анализом. (С точки зрения теории моделей, они равносогласованы.) Однако большинство исчислений бесконечно малых, которые вы видите в статьях и книгах по физике, нужно было бы немного переработать или доработать, чтобы превратить их в NSA.
Обычно переводить между двумя языками довольно просто. Ученые и инженеры должны свободно владеть обоими.