Показать ожидание минимума остановленного мартингейла равно $-\infty$
Рассмотрим мартингейл случайного блуждания $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ где $X_k$ равномерно ограничены, iid с $E(X_1)=0,E(X_1^2)=\sigma^2>0$. Позволять$a>0$ и установить $T=\inf\{n:S_n\geq a\}$. Покажи то$E(\min_n S_{n\wedge T})=-\infty$.
Я думал об определении $T(k)=\inf\{n:S_n\leq -k\}$ и используя мартингейл $S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2-(n\wedge T\wedge T(k))\sigma^2$. Тогда мы получим (используя MCT, ограниченность и$S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2$) $E(S^2_{T\wedge T(k)})=\sigma^2(T\wedge T(k))$. Из этого следует$b^2P(T<T(k))+k^2P(T>T(k))=\sigma^2 E(T\wedge T(k))$. Я не знаю, как действовать дальше.
Ответы
Как насчет этого?
Для любой $N < \infty$, по необязательной теореме выборки имеем $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N}) = 0$. И$E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)}) = E(S_{T \wedge N} I_{T < T(k)}) \ge a P(T < T(k) \wedge N) \to a$ в виде $N, k \to \infty$.
Так $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}) = - E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)})$ сходится к отрицательному числу как $N,k \to \infty$.
Позволять $U = \min_n S_{n \wedge T}$. В настоящее время$U I_{U < -k} \le S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}$. Если$E(U) > -\infty$, тогда $E(U I_{U < -k}) \to 0$ в виде $k \to \infty$, противоречие.