Покажи это $f’(0)$ существует и равно 1.

Question

Позволять $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$быть непрерывным. Предположим, что$f’(x)$ существует для всех $x \neq 0$ и $ \lim_{x\to\ 0} f'(x) = 1$. Покажи это$f’(0)$ существует и $f’(0) = 1$

Моя попытка: $$1 = \lim_{x\to0} \lim_{h\to0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = f’(0)$$

Я не думаю, что сделанная мной замена лимитов верна. Может ли кто-нибудь помочь мне с этим.

Answer 1

Я думаю, что сообщение, связанное с Martin R, говорит о чем-то похожем, но это стандартное приложение MVT: Fix $h>0$ и рассмотреть $\frac{f(h) - f(0)}{h}$, то по теореме о среднем значении можно найти точку $a \in (0,h)$ такой, что $\frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(a)$. Теперь возьми$h \to 0$. Что происходит с$a$? Имейте в виду, что$a$ зависит от $h$.

Кроме того, перестановка пределов не является хорошей идеей, если вы не обращаетесь к конкретной теореме / результату, которые позволяют вам это сделать. В общем, даже «легкие» лимиты изменить нельзя.