Покажи то $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$

Question

Покажи то $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$, где $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ группа целых чисел по модулю $15$ при умножении.

Это вопрос, связанный с Первой теоремой об изоморфизме, но я не знаю, как использовать ее с прямым произведением. Я проверил, являются ли группы циклическими, а также попытался просто найти функции$f:\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z\to(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$но это меня ни к чему не привело. Если возможно, поможет подсказка.

Answer 1

У нас всегда есть $$ (\Bbb Z/pq\Bbb Z)^{\times}\cong (\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\times (\Bbb Z/q\Bbb Z)^{\times}, $$ для простых чисел $p$ и $q$ по CRT (китайской теореме об остатках).

Кроме того, у нас есть $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\cong \Bbb Z/(p-1)\Bbb Z$.

Рекомендации:

$\mathbb Z_{mn}$ изоморфен $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ всякий раз, когда $m$ и $n$ взаимно просты

Мое доказательство того, что $U_{pq}$ не является циклическим, если $p$ и $q$ правильны ли различные нечетные простые числа?