Покажи то $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ имеет уникальное решение по $\mathbb{R}$
Покажи то $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ имеет уникальное решение по $\mathbb{R}$.
Это ответвление одной из проблем математики Беркли.
Мое решение (попытка) намного короче, чем решение, представленное авторами (они показывают, что единственное решение существует в некоторой окрестности $(0,54)$ используя локальную версию теоремы Пикара, а затем используйте IFT, чтобы найти явное решение в этой окрестности и доказать, что это решение действительно в $\mathbb{R}$) поэтому я хотел проверить, что я что-то не пропустил.
Вот мое решение:
Позволять $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. Исправить$h >0$. По основным свойствам непрерывных функций$f$ продолжается на $[-h,h] \times \mathbb{R}$ и, кроме того, Липшица в $y$на этой полосе. Это следует из
$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ и МВТ.
Применяется теорема Пикара, и мы видим, что IVP имеет единственное решение на $[-h,h]$.
Но $h$ было произвольно, поэтому у IVP есть решение по всем $\mathbb{R}$. $\blacksquare$
Это верно? В общем, я немного не уверен, как доказать уникальность / существование глобальных решений ... аналитическое продолжение или глобальный Пикард ?!
Обратите внимание на версию теоремы Пикарда, которую я использую:
IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$, имеет уникальное решение на $\mathbb{R}$ предоставлена, $\forall h:$
$f$ продолжается на $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$
$f$ Липшицев у $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.
Ответы
Ваша идея верна. С сублинейной правой стороной вы получаете глобальное решение. Идея доказательства исследуется, например, в
- Существование решения ODE первого порядка. Что нужно доказать?
- Неравенство в доказательстве единственности решения ОДУ
Проблема с вашим источником может заключаться в том, что они не приложили усилий для доказательства этой более глобальной версии теоремы после стандартной локализованной версии. Таким образом, они должны собрать решение из множества локальных решений.
Обратите внимание, что с формулировкой вашего состояния вы получите решение только на $[a-h,a+h]$, что неудивительно, поскольку это исследуемая область ODE.