Покажи то ${{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$

Question

Вопрос: Предположим$x $- целое неотрицательное число. Определить${{m}\choose {x}}=0$ если $x>m $. Позволять$\{p_n\}$ быть последовательностью, удовлетворяющей $0 <p_n <1$ и $\lim\limits_{n\to\infty} np_n=\lambda$. Покажи то$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Эквивалентно ли это доказательству формулы распределения Пуассона? Я спрашиваю об этом, потому что в формуле распределения Пуассона$np$ постоянно, но здесь, когда $n\to\infty $ $np\to $некоторая постоянная$=\lambda $. Также в формуле распределения Пуассона$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ но мы должны доказать для любого $n $нет никаких ограничений. Так одно и то же ли доказательство проблемы и доказательство формулы распределения Пуассона?

Примечание. В формуле задачи нет ограничений. Мы должны доказать$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$ не $$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Answer 1

$\boxed{\text{Hint}}$

$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{(np_n)^x}{n^x}\frac{(1-np_n/n)^n}{(1-p_n)^x}$$

поскольку $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda$, мы получили $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-np_n/n)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\lambda/n)^n=e^{-\lambda}}$$

$$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(np_n)^x=\lambda^x}$$ и попытайтесь показать это $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}=1\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1-p_n)^x=1}$$

Answer 2

Написанный вами предел является формальной формулировкой предельной теоремы Пуассона .

Версия, которую вы видели ранее, имеет несколько менее общее предположение (она заставляет $np_n = \lambda$ для всех $n$, скорее, чем $np_n \to \lambda$). Доказательства будут очень похожи, но вам, вероятно, придется сделать что-то дополнительное для более общего утверждения.

В обоих утверждениях есть предел как $n \to \infty$; Я не совсем понимаю, что вы имеете в виду под «мы должны доказывать$n$ нет пределов ".

Answer 3

Для фиксированных $x$,$$\frac{\binom{n}{x}}{n^x/x!}=\prod_{i=0}^{x-1}(1-i/n)=\exp\sum_{i=0}^{x-1}\underbrace{\ln(1-i/n)}_{\sim-i/n}\approx\exp\frac{-x(x-1)}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1.$$В виде $n\to\infty$, $1-p_n\to1$ так$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}\sim\frac{\left(\frac{np_n}{1-p_n}\right)^x(1-p_n)^n}{x!}\sim\frac{\lambda^x e^{-np_n}}{x!}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$