Покажите, что набор мощности - это набор.
Я натолкнулся на следующее утверждение, которое автор хочет, чтобы читатель доказал:
Предложение 1 . Для произвольного набора$X$, $\{A \mid A \subseteq X\}$ это набор.
Моя попытка (в основном основанная на намеках автора):
Сначала я изложу аксиому власти, представленную в книге (которая, кажется, отличается от того, что написано в статье в Википедии ):
Аксиома силового множества . Позволять$X$ и $Y$быть наборами. Тогда существует множество, обозначаемое$Y^{X}$ , который состоит из всех функций из $X$ к $Y$ , таким образом
$$f \in Y^{X} \iff \text{(f is a function with domain $Икс$ and range Y)}$$
Используя аксиому степенного множества и аксиому замены, мы можем построить следующее множество
$$S = \{Z \mid Z = f^{-1}(\{1\}) \text{ for some } f \in \{0,1\}^X \}$$
Теперь нам нужно показать, что для произвольных $A \in S$, $A \in S$ если только $A \subseteq X$
$(\rightarrow)$ Возьми немного $A \in S$ и возьми немного $a \in A$. поскольку$A \in S$, существует несколько $f: X \rightarrow Y$ такой, что $f^{-1}(\{1\}) = A$. По определению обратного изображения мы можем заключить, что$a$ находится в сфере $f$, то есть $a \in X$.
$(\leftarrow)$ Возьмем произвольное подмножество $X$, сказать $A$. Мы можем определить$f: X \rightarrow Y$ такой, что $f(x) = 1$ если только $x \in A$, и $f(x) = 0$иначе. Мы видим, что$f \in \{0,1\}^{X}$ и это правда, что $A = f^{-1}(\{1\})$. Следовательно$A \in S$.
Следовательно $S = \{A \mid A \subseteq X\}$, что обозначает $\{A \mid A \subseteq X\}$ это набор.
$\blacksquare$
Вопрос 1.
Это правильно?
Вопрос 2.
Если приведенное выше доказательство верно, есть ли более сжатые альтернативы? Прежде чем увидеть намеки автора (то есть нам нужно использовать аксиому набора мощности и аксиому замены), я подумал, что следующего аргумента будет достаточно: «Набор - это набор объектов. Подмножество - это объект. Следовательно, набор подмножеств конкретный набор есть набор ".
Ответы
Мне это доказательство кажется прекрасным. Пара замечаний по этому поводу:
- Если это уже не было доказано где-то еще в книге, которую вы читаете, я бы добавил обоснование того, почему элементы $S$ это наборы, поэтому что-то вроде $$f^{-1}(\{1\}) = \big\{ x \in X : f(x) = 1\big\}$$ набор для каждого $f \in \{0,1 \}^X$ по аксиоме отделимости.
- в $(\to)$ направлении нужно рассмотреть два случая, а именно $A = \varnothing$ и $A \neq \varnothing$. Если$A = \varnothing$, то тривиально $A \subseteq X$; в противном случае есть$a \in A$ (как вы утверждаете), и далее следует остальное доказательство.
Как намекают в комментариях, смысл использования такого формализма для доказательства того, что для любого множества $A$, $\mathcal P(A)$также является набором (вместо того, чтобы спорить, как вы сначала думали), исходит от математиков, пытающихся избежать ситуации, когда определенные наборы наборов настолько "велики", что в вашей системе аксиом возникают противоречия, например, те, которые представлены в примерах Кантора и Парадоксы Бурали-Форти .