Показывая это для метрического пространства $(X,d)$, $|d(x,z) - d(y,z)| \leq d(x,y)$.

Question

В настоящее время я работаю над доказательством, приведенным в моем учебнике (для курса метрических пространств) по следующему вопросу:

если $(X,d)$ является метрическим пространством, покажите, что $|d(x,z) - d(y,z)| \leq d(x,y)$ $\forall x,y,z \in X$.

Доказательство :

$(1)$ по неравенству треугольника имеем $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ и поэтому

$(2)$ $d(x,z) - d(y,z) \leq d(x,y)$.

$(3)$ Опять же, по неравенству треугольника: $d(y,z) \leq d(y,x) + d(x,z)$, а значит, по симметрии:

$(4)$ $-(d(x,z) - d(y,z)) \leq d(y,x) = d(x,y)$.

$(5)$ объединение $(2)$ и $(4)$ мы получаем $|d(x,z) - d(y,z)| \leq d(x,y)$.

---

Мои вопросы :

$i)$ В $(1)$, как узнать из неравенства треугольника, что $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$? аналогично для$(3)$, Откуда мы это знаем $d(y,z) \leq d(y,x) + d(x,z)$?

$ii)$ в $(5)$, что автор подразумевает под «объединением» неравенств в $(2)$ и $(4)$дать окончательный результат? Мне кажется, это немного расплывчато, и я не могу понять, что он имеет в виду под «объединением».

Причина моих вопросов в том, что я хочу иметь возможность написать подробное доказательство этого, но я хотел прояснить некоторые вещи.

Answer 1

i) Неравенство треугольника определяется следующим образом: для всех $x, y, z$, у нас есть $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$. По определению метрики должно выполняться неравенство треугольника.

ii) У нас в целом $|a| = \sup(a, -a)$. Другими словами,$|a|$ это наименьшее значение $w$ ул $w \geq a$ и $w \geq -a$. Позволять$a = d(x, z) - d(y, x)$. Затем мы показали, что$d(x, y) \geq a$ и $d(x, y) \geq -a$. Следовательно,$d(x, y) \geq |a|$.