Поле дробей $\mathbb Z_p[[X]]$

Aug 19 2020

Мы знаем, что поле дробей $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$является строго содержится в области Лоран степенных рядов$\mathbb Q_p((X))$, благодаря этому результату Гилмера. Итак, мой вопрос:

Можно ли явно описать элементы $F$?

Некоторые подобные вопросы уже задавались здесь или на Mathoverflow. Возможно, наиболее актуальным является тот, который касается явного вычисления поля дробей$\mathbb Z[[X]]$. Кто-то предполагает в комментариях к связанному вопросу, что проблема с$\mathbb Z_p$ (вместо $\mathbb Z$) должно быть проще.

Некоторые общие необходимые условия приведены здесь , когда коэффициенты степенных рядов лежат в любой области, но я хотел бы найти некоторые достаточные условия в частном случае$\mathbb Z_p$.

Спасибо заранее

Ответы

3 MaximeRamzi Aug 19 2020 at 16:52

Скажем, у вас есть силовая серия $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$.

Если он ненулевой, вы можете записать его как $X^np^m\sum_k b_kX^k$ с участием $b_0 \notin (p)$.

В частности, как $\mathbb Z_p$ местный, $b_0$ обратима, поэтому $\sum_kb_k X^k$ также обратимо: вам нужно только инвертировать $X^np^k$

В частности, $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$.

Итак, элемент $f\in \mathbb Q_p((X))$ в $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ если и только если $p^n$ в знаменателях ограничены

(в приведенном выше описании показан бит «только если», а для «если»: если они ограничены, умножение на $p^k$ за $k$ достаточно большой, чтобы вы приземлились $\mathbb Z_p((X))$)

Как указывает YCor в комментариях к вопросу МО о $\mathbb Z[[X]]$, вопрос, вероятно, проще в локальных кольцах в более общем плане, хотя здесь я фактически использовал, что максимальный идеал был главным (так что это работает с дискретными кольцами оценки)