Поле остатков композита из двух полей


[Вопрос]
я знаю это $K'\cdot K''$ является неразветвленным продолжением $K$ но я не знаю почему $K'\cdot K''$ иметь поле вычетов $k'$.
всегда ли правда, что $K_1\cdot K_2$ иметь поле вычетов $k_1 \cdot k_2$? (где$k_1,k_2$ поля вычетов $K_1, K_2$)
Я думаю, что если мы докажем предложение 7.50, то сможем использовать " $K_1\cdot K_2$ иметь поле вычетов $k_1 \cdot k_2$" в этой ситуации.
Однако мы не можем использовать этот факт при доказательстве этого утверждения.
Как я могу это доказать?
Спасибо за Ваше внимание.
ссылка ( теория алгебраических чисел Дж. С. Милна ) и этот пост 1 : Странные рассуждения о неразветвленных расширениях, имеющих одинаковые поля вычетов, одинаковы.
Ответы
Для $K/\Bbb{Q}_p$ конечное расширение, тогда $F/K$ неразветвлен, если и только если $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ с участием $p\nmid n$ и $q= |O_F/(\pi_F)|$. Это основное приложение леммы Гензеля.
Когда $E/K,E'/K$ разветвлены, то не всегда поле вычетов $EE'$ наименьшее поле, содержащее поля $E,E'$попробуйте с $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.
Когда $E'/K$ неразветвлен тогда $EE'=E(\zeta_{q-1})$ имеет поле вычетов $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.