Положительные и положительные полуопределенные матрицы

Aug 19 2020

Позволять $H_n$ быть $(n+1)\times (n+1)$ вещественная симметричная матрица, и пусть $D_0,D_1,\dots, D_n$ быть ведущими главными несовершеннолетними $H_n$.

Что я знаю:

  1. Если $H_n$ положительно определен (соответственно положительно полуопределен), то $D_n> 0$ (соотв. $D_n\geq 0$).
  2. Если $D_k>0$ для всех $0\leq k\leq n$, тогда $H_n$положительно определена (по критерию Сильвестра ).

Я хочу знать, если предположить, что $H_n$ положительно полуопределенный,

$\quad$Q1. Если$D_n>0$, тогда $H_n$ положительно определен.

$\quad$Q2. Если$H_n$ не является положительно определенным, тогда $D_n=0$.

Для Q1: я считаю, что это делается индукцией по $n$. За$n=0$: Если $D_0>0$, тогда $H_0$положительно определен, по второму пункту. За$n=1$: Если $D_1>0$, Откуда ты это знаешь $D_0\neq 0$, чтобы мы снова могли использовать вторую точку?

Для Q2: мы знаем, что $H_n$ положительно полуопределено по предположению, поэтому $D_n\geq 0$по первому пункту. Но с тех пор$H_n$ не является положительным полуопределенным, мы не можем иметь $D_n>0$, так $D_n=0$. Это оно?

Ответы

1 BenGrossmann Aug 21 2020 at 14:51

Положительно полуопределенная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда она обратима (имеет ненулевой определитель).

Обычно это считается следствием следующего: симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда ее собственные значения действительны, а положительно полуопределенные тогда и только тогда, когда ее собственные значения неотрицательны. Отсюда отметим, что определитель матрицы - это произведение ее собственных значений.

Для более прямого доказательства достаточно заметить, что для (симметричной) положительно полуопределенной матрицы $H$, у нас есть $x^THx = 0 \iff Hx = 0$. В моем посте я доказываю это несколькими разными способами. Оттуда обратите внимание, что матрица имеет нулевой определитель тогда и только тогда, когда ее нулевое пространство (ядро AKA) нетривиально.