Получите сумму последовательности из суммы ее нечетных членов.

Question

Я хотел бы посчитать сумму $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ используя ряд Фурье $f(x)=|x|$ над $(-\pi,\pi)$. Коэффициенты$b_k$ все $0$ потому что $f$даже. Выполняя интеграцию, я получил:$$ a_0 = \pi $$ и $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ для $k>0$. Равенство Парсеваля дает:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ который дает $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ что упрощает $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ что в основном говорит: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ есть идеи, как получить оттуда сумму?

Answer 1

Обратите внимание на то, что у вас есть $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. Вызов$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ у тебя есть это $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ и наконец у вас есть $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ откуда $S=\frac {\pi^4}{90}$

Answer 2

По сути, у вас есть

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$

Ты хочешь найти

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$

другими словами, вы хотите добавить

$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$

С учетом ${\frac{1}{2^4}}$ на вышеуказанные урожаи

$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$

В общем, если вы позвоните ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ у тебя есть

$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$

$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$

Можете ли вы теперь переставить ${S}$?