Помогите понять формулу альтернативной дисперсии

Aug 17 2020

Мне нравится определение дисперсии:

$$\Sigma_s{(x_i -\bar{x})(y_i -\bar{y})p(x_i,y_i)}$$

Но я видел один, который выглядит вот так, и мне трудно понять, насколько они эквивалентны.

$$\Sigma_x \Sigma_y (x+y)^2 P_{XY}-(E(x+y))^2$$ источник

Ответы

4 StatsStudent Aug 17 2020 at 10:24

Первый элемент, который вы указали, - это ковариация $x_i$ и $y_i$. Вторая формула, которую вы указали, - это дисперсия$x+y$ (т.е. $Var(x+y)$).

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что мы можем написать $Cov(X,Y)$ так как:

\ begin {eqnarray *} {Cov (X, Y)} & = & E (XY) -E (X) (EY) \\ & = & \ sum x_ {i} y_ {i} p_ {XY} (x_ {i}, y_ {i}) - \ sum x_ {i} p (x_ {i}, y_ {i}) \ sum y_ {i} p_ {XY} (x_ {i}, y_ {i}) \ \ & = & p_ {XY} (x_ {i}, y_ {i}) \ left (\ sum x_ {i} y_ {i} - \ sum x_ {i} \ sum y_ {i} \ right) \\ & = & \ sum (x_ {i} - \ bar {x}) (y_ {i} - \ bar {y}) p_ {XY} (x_ {i} y_ {i}) \ end {eqnarray *}

Вторая формула, которую вы указали, основана на источнике, на который вы указали гиперссылку в разделе «Дисперсия».

Эти две формулы не эквивалентны.