Понимание оператора плотности в квантовой механике для совместной системы
Учтите, что мы работаем с совместной системой, состоящей из системы A с базисом $|\alpha_j\rangle$ и система B с базисом $|\beta_j\rangle$, мы можем написать общую матрицу плотности для совместной системы относительно базиса тензорного произведения $|\alpha_j\rangle |\beta_j\rangle$.
Тогда я хочу понять, как мы можем сделать вывод, что оператор плотности можно записать следующим образом.
$$\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
Любая помощь, чтобы облегчить мое понимание этого, была бы принята с благодарностью.
Ответы
Если $\big\{|\alpha_j\rangle\big\}$ является базисом гильбертова пространства $\mathcal H_A$ и $\big\{|\beta_k\rangle\big\}$ это основа для $\mathcal H_B$, тогда $\big\{|\alpha_j,\beta_k\rangle \big\}$ это основа для $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$, естественное гильбертово пространство для составной системы. Чтобы облегчить обозначения, я определяю$|\alpha_j,\beta_k\rangle \equiv |\alpha_j\rangle \otimes |\beta_k \rangle$.
Оттуда оператор идентификации на $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ можно написать $$\mathbf 1 = \sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|$$
так что произвольный оператор $T$ можно написать
$$T = \mathbf 1 \cdot T \cdot \mathbf 1 = \bigg(\sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|\bigg) T \bigg(\sum_{\ell,m} |\alpha_\ell,\beta_m\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|\bigg)$$ $$ = \sum_{j,k,\ell,m}T_{jk\ell m} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|$$
где $$T_{jk\ell m} \equiv \langle \alpha_j,\beta_k| T | \alpha_\ell,\beta_m\rangle$$
Краткий ответ: примените обе части уравнения к произвольному базисному вектору кет-кода, и все значительно упростится.
Истинность этого уравнения не имеет ничего общего с тем фактом, что это совместная система или что это оператор плотности. Это было бы верно для любого оператора и любого ортонормированного базиса.
После того как вы примените обе стороны уравнения к базисному вектору, один из способов продолжить - перевернуть два члена и использовать разрешение идентичности.