Пожалуйста, без алгебры, мы геометры

Aug 18 2020

Дан прямоугольный треугольник со сторонами $ABC$ сделайте еще два прямоугольных треугольника, используя стороны $A$ и $C$ (длинная сторона) и новая длинная сторона $x$(то же самое для обоих новых треугольников). По Пифагору, подразумеваемые третьи стороны будут иметь длину$a$ и $c$ такой, что $a^2+A^2 = x^2 = c^2+C^2$.

Теперь, используя некоторую алгебру, я могу показать, что если мы можем сформировать треугольник со сторонами $aBc$ это тоже должно быть правильно, а именно: $B^2+c^2 = B^2 + x^2 - C^2 = x^2 - A^2 = a^2$

Но это кажется неправильным, как если бы инструмент летал в ясный день.

Ты можешь

  • либо переставить фигуру так, чтобы она ($aBc$ правильно) очевидно
  • или приведите прямой геометрический аргумент
  • или их комбинация?

Обратите внимание на рисунок. По неудачному совпадению (игра слов) кажется, что фиолетовый круг проходит сквозь$\angle AB$. Это не обязательно так. Круг - один из радиусов$c$ около $\angle BC$

Ответы

3 tehtmi Aug 18 2020 at 22:44

Рассмотрим третье измерение.

Предположим, мы выбираем точку на плоскости через$B$перпендикулярно плоскости треугольника. Это создает три новых треугольника. Треугольник на$A$всегда прав. (Это$Axa$.) Треугольник на $C$ прямо на $BC$ тогда и только тогда, когда точка находится прямо над вершиной $BC$ (т.е. линия, проходящая через новую точку и вершину $BC$перпендикулярна плоскости исходного треугольника). (Это$Cxc$.) В этом случае треугольник на $B$ также явно прав (также в $BC$). (Это$aBc$.)